关于自然数幂集上满足特定性质的非测度映射的疑问

我来一步步拆解这个例子，帮你搞明白为啥它满足那三个性质却不是测度～

首先先明确你找到的这个映射的定义：
$$\mu(A) := \begin{cases} 0, & \text{$A$ 是有限集} \ \infty, & \text{否则}. \end{cases}$$

咱们逐个验证它满足题目里的(a)(b)(c)三个性质，再重点说清楚为啥它不是测度：

1. 满足性质(a)：$\mu(\emptyset)=0$ #

空集是典型的有限集，所以根据定义直接有$\mu(\emptyset)=0$，这个没毛病。

2. 满足性质(b)：有限可加性 #

有限可加性的要求是：如果$A_1,A_2,...,A_n$是两两不交的自然数子集，那么$\mu\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n \mu(A_k)$
咱们分两种情况讨论：

• 如果所有$A_k$都是有限集：有限个有限集的并集肯定还是有限集，所以左边$\mu(\bigcup A_k)=0$；右边每个$\mu(A_k)$都是0，加起来也是0，两边相等。
• 如果其中至少有一个$A_k$是无限集：因为这些集合两两不交，这个无限集的存在会让整个并集也变成无限集（无限集和任何不交集合的并都是无限的），所以左边$\mu(\bigcup A_k)=\infty$；右边因为至少有一个项是$\infty$，其他项都是非负的，求和结果自然也是$\infty$，两边也相等。
  所以不管哪种情况，有限可加性都成立。

3. 满足性质(c)：从上方连续 #

从上方连续的定义是：如果$B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq ...$是一列递减的子集，且存在某个$n$使得$\mu(B_n) < \infty$，那么$\mu\left(\bigcap_{k=1}^\infty B_k\right) = \lim_{n\to\infty} \mu(B_n)$
咱们来理清楚：
如果存在某个$B_n$的$\mu(B_n) < \infty$，那根据定义，$B_n$是有限集。而因为序列是递减的，所有$k\geq n$的$B_k$都是$B_n$的子集，自然也都是有限集，它们的交集$\bigcap_{k=1}^\infty B_k$也是$B_n$的子集，肯定也是有限集，所以$\mu(\bigcap B_k)=0$。
再看右边的极限：当$k$足够大时，$\mu(B_k)=0$，所以极限也是0，两边完全相等。
至于所有$B_k$都是无限集的情况？从上方连续的定义只要求“存在某个$n$使得$\mu(B_n)<\infty$”时成立，这种不满足前提的情况我们不用考虑，所以这个映射确实满足从上方连续。

为啥它不是测度？（对应性质(d)） #

测度的核心要求除了空集测度为0，还需要σ-可加性（也就是可数可加性）：如果$A_1,A_2,...$是两两不交的可数个子集，那么$\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) = \sum_{k=1}^\infty \mu(A_k)$
而这个映射刚好不满足σ-可加性，咱们举个最直观的反例：
取每个$A_k = {k}$，也就是每个$A_k$都是只含单个自然数的子集，它们两两不交。

• 左边：$\bigcup_{k=1}^\infty A_k = \mathbb{N}$，是无限集，所以$\mu(\bigcup A_k)=\infty$
• 右边：$\sum_{k=1}^\infty \mu(A_k) = \sum_{k=1}^\infty 0 = 0$
  左边是$\infty$，右边是0，显然不相等！这就违反了σ-可加性，所以它不是测度。

你之前的困惑点“怎么会有限可加但不是σ-可加”，核心区别就在这里：有限可加只要求有限个不交集合满足并的测度等于测度和，而σ-可加要求可数无限个不交集合也满足这个等式。有限的情况成立，不代表无限的情况也成立——就像这个例子里，有限个单元素集的并是有限集，测度0等于求和0；但可数无限个单元素集的并是无限集，测度∞就和求和0对不上了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者clementine1001