不借助雅各布森根直接证明A_V代数半单性的方法问询及待完善证明探讨

大家好，我最近在做I.M. Isaacs《有限群特征标理论》里的1.6题，问题是这样的：

设$A$是有限维$k$-代数，$V$是完全可约的左$A$-模，且作为$k$上的向量空间也是有限维的。证明代数$A_V$是半单的。

注：$A_V$是代数同态$A \to \operatorname{End}_F(V)$的像，其中$a \mapsto a_V$，$a_V$是$a$在$V$上的左乘作用：$a_V: V \to V, x \mapsto ax$。这里的“半单”指$A_V$作为自身的左模是完全可约的。

我知道用雅各布森根可以证明这个命题，但我想找一种更直接的方法，不用雅各布森根的帮助，不知道有没有人能指点一下？

下面是我目前尝试的证明思路，不过还没完成：

引理 #

设$M_1$、$M_2$是$A$上的有限维单模，$m_1\in M_1$，$m_2\in M_2$且$m_1,m_2\neq0$。要么$\operatorname{Ann}(m_1) = \operatorname{Ann}(m_2)$，要么$\operatorname{Ann}(m_1) + \operatorname{Ann}(m_2) = A$。

引理证明：
因为$A/\operatorname{Ann}(m_i) \cong M_i$，而$M_i$是单模，所以$\operatorname{Ann}(m_i)$是$A$的极大理想。如果$\operatorname{Ann}(m_1) \neq \operatorname{Ann}(m_2)$，那么$\operatorname{Ann}(m_1) \subsetneq \operatorname{Ann}(m_1) + \operatorname{Ann}(m_2)$，而极大理想的性质决定了$\operatorname{Ann}(m_1) + \operatorname{Ann}(m_2) = A$。

回到原问题的证明尝试 #

假设$V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$，其中每个$V_i$都是不可约模。那么：
$$\operatorname{Ann}(V) = \bigcap_{i=1}^n\operatorname{Ann}(V_i) = \bigcap_{i=1}^n \bigcap_{v\in V_i, v \neq 0}\operatorname{Ann}(v).$$

现在我们把$\bigcup_{i = 1} ^n V_i$按等价关系_划分：$v$$w$当且仅当$\operatorname{Ann}(v) = \operatorname{Ann}(w)$，取代表元集合$\mathscr{V} = {v_j: j \in J}$，那么$\operatorname{Ann}(V) = \bigcap_{j\in J} \operatorname{Ann}(v_j)$。

如果能证明$J$是有限集，那么根据上面的引理，中国剩余定理就能用上，从而得到：
$$A_V \cong A/\operatorname{Ann}(V) \cong \bigoplus_{j\in J} (A/\operatorname{Ann}(v_j)),$$
这样就能完成证明，因为每个$A/\operatorname{Ann}(v_j)$都是单模（对应到单$A$-模$M_i$），它们的直和自然是半单的。

不过这里我卡住了：我相信代表元集合$\mathscr{V}$是有限的，但没办法证明这一点。具体来说，只需要证明对于单$A$-模$M$，集合${\operatorname{Ann}(m):m\in M}$是有限集就行。

经rschwieb建议后的修改 #

后来我意识到$A/\operatorname{Ann}(v)$一般不是环，所以中国剩余定理不能直接用满射的那个版本，这点rschwieb指出来了。不过我们还是可以考虑单射$\phi: A/\operatorname{Ann}(V) \to \bigoplus_{j\in J} (A/\operatorname{Ann}(v_j))$（如果$J$是有限的话）。每个$\pi_j \phi$的像都是$A/\operatorname{Ann}(v_j)$的子模，而$A/\operatorname{Ann}(v_j)$是单模，所以像要么是0要么是单模，这样直和就是半单的，进而$A/\operatorname{Ann}(V)$作为子模也是半单的。

但问题还是在于怎么证明$J$是有限集，目前想到的方法都很复杂，反而比用雅各布森根的证明麻烦多了，所以想问问有没有更简洁的直接证明思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zyy