有限生成非自由R-模间态射的Smith标准形存在性及TDA场景下的适用性问询

各位大佬好，我最近在梳理主理想整环（PID）上模的态射相关性质时遇到了一个困惑，翻了不少资料都没找到明确答案，想请教下大家：

已知若$R$是PID，有限生成自由$R$-模之间的态射$f: M \to N$存在Smith标准形。那当$M$和$N$是有限生成但非自由的$R$-模时，这个结论是否依然成立？

我之所以关注这个问题，是来自拓扑数据分析（TDA）的实际场景：我们通常在带整数指数的多项式环$\mathbb{k}[x]$上开展研究，持久链复形可被视为分次环$\mathbb{k}[x]$上的链复形$Ch(\mathbb{k}[x])$。其中的边界算子$d_k : C_k \to C_{k-1}$是$\mathbb{k}[x]$-模之间的分次态射，它的矩阵形式的Smith标准形能够确定余像与像的基之间的双射配对，而这正是持久配对的核心对应关系。

不过在Carlsson和Zomorodian的原始论文中，这类链复形均由过滤复形构造而来，因此$C_k$和$C_{k-1}$都是自由模，完全没有涉及非自由的情况。我特别想搞清楚：如果$C_k$和$C_{k-1}$是有限生成但非自由的$\mathbb{k}[x]$-模时，Smith标准形的相关结论还能适用吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者richokicked800goals