利用基础积分求解非标准圆心圆的面积方法咨询

嗨，我来帮你拆解这个问题～其实核心思路和你熟悉的原点圆心圆的积分方法是一致的，只是多了一步坐标平移的变量替换，我们一步步理清楚：

1. 先明确目标圆的上下边界表达式 #

给定的圆方程是：
$$(x - 5)^2 + (y - 10)^2 = 8^2$$
我们可以解出y关于x的表达式，得到上下两个半圆：

• 上半圆：$y = 10 + \sqrt{64 - (x-5)^2}$
• 下半圆：$y = 10 - \sqrt{64 - (x-5)^2}$

2. 确定微元面积的形式 #

和原点圆的思路一样，我们取垂直于x轴的窄条作为面积微元：

• 窄条的宽度是$dx$
• 窄条的高度是上半圆的y值减去下半圆的y值，计算后会发现常数项抵消：
  $$[10 + \sqrt{64 - (x-5)^2}] - [10 - \sqrt{64 - (x-5)^2}] = 2\sqrt{64 - (x-5)^2}$$
  所以微元面积就是：
  $$dA = 2\sqrt{64 - (x-5)^2} dx$$

3. 确定积分的x范围 #

圆在x轴方向的左右边界是圆心x坐标加减半径：

• 左边界：$5 - 8 = -3$
• 右边界：$5 + 8 = 13$
  所以面积就是微元从x=-3到x=13的积分：
  $$A = \int_{-3}^{13} 2\sqrt{64 - (x-5)^2} dx$$

4. 变量替换简化积分 #

这里做一个平移替换：令$u = x - 5$，那么$du = dx$，同时积分上下限会同步变化：

• 当$x=-3$时，$u = -3 -5 = -8$
• 当$x=13$时，$u =13 -5 =8$
  积分就转化成了你熟悉的原点圆形式：
  $$A = \int_{-8}^{8} 2\sqrt{64 - u^2} du$$

5. 计算积分结果 #

这个积分和原点处半径8的圆的面积积分完全一致：

• 我们知道$\int_{0}^{8}\sqrt{64 - u^2}du$是四分之一圆的面积，值为$\frac{1}{4}\pi \times8^2=16\pi$
• 所以整个积分就是$4\times16\pi=64\pi$，和圆的面积公式$\pi r^2$结果完全匹配。

关于微元的困惑补充 #

你纠结的“dx的位置”其实不用多虑——平移只是把整个圆在坐标系里挪动了位置，垂直窄条的宽度$dx$没有变化，窄条的高度也因为平移的抵消（上下半圆都加了10，相减后10就消掉了）和原点圆的窄条高度一样。你可以想象把这个圆往左拖5个单位、往下拖10个单位，就完全变成了原点处的圆，两者的微元面积完全相同，积分结果自然也一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者a_i_r