独立离散随机变量A、B的大小概率求解及计算过程验证求助

问题描述 #

A和B可以独立生成正整数：

• A生成正整数n的概率为 $\frac{\alpha}{3^n}$，其中$\alpha$是常数
• B生成正整数n的概率为 $\frac{\beta}{n!}$，其中$\beta$是常数

需要解决两个问题：
(a) 求A生成的数大于B生成的数的概率
(b) 求A生成的数小于B生成的数的概率

我的进展与疑问 #

我已经算出$\alpha=2$，$\beta=\frac{1}{e-1}$，但之后就卡壳了。我尝试通过计算$P(A-B>0)$来求解(a)，但不知道怎么正确展开计算。

我的计算尝试（针对问题(a)）

我用了这个思路：
$$1-P(X \leq Y) = 1 - \sum_{k=1}^{\infty} P(X \leq K | Y=K) P(Y=K)$$
展开后得到：
$$1- \sum_{k=1}^{{\infty}\sum_{i=1}}{k}\frac{2}{3^i}*\frac{1}{k!(e-1)}$$

接下来计算求和部分：
$$\sum_{k=1}^{{\infty}\frac{1}{k!(e-1)}(1-\frac{1}{3}k}) = \frac{1}{(e-1)}\sum_{k=1}^{{\infty}\left(\frac{1}{k!}-\frac{1}{k!3}k}\right)$$

利用指数函数的泰勒展开式$e^x - 1 = \sum_{k=1}^{{\infty}\frac{x}k}{k!}$，代入后得到：
$$\frac{1}{e-1}\left(({e-1})-(e^{1/3}-1)\right)$$

因此最终推导得到：
$$1-P(X\leq Y) = 1 -\left(1 - \frac{e^{1/3}-1}{e-1}\right)$$

我已经在这个问题上耗了好几个小时了，有没有大佬能帮我检查一下这个计算过程是否正确呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Catt