关于独立随机变量Zₙ与Z的期望比较及相关条件意义的技术咨询

大家好，我最近在处理一个概率问题时遇到了瓶颈，想请教一下各位的思路：

问题设定 #

设$X,Y$是非零独立随机变量，其中$X$的期望为0，它们的分布分别记为$\mu,\nu$。题目给出了一个关键条件：
$$0 < \lim_{x\to 0+} \frac{\nu(-x,x)}{x} = a< \infty$$
我们定义序列随机变量$Z_n = \frac{X}{|Y| + 1/n}$，以及$Z = \lim_{n\to\infty} Z_n$（显然$Z_n$几乎处处收敛到$Z = \frac{X}{|Y|}$）。现在需要分析并比较$E[Z_n]$和$E[Z]$的关系。

我已经完成的推导 #

对于每个$Z_n$，我能确定它的期望是0：因为$\frac{1}{|Y| + 1/n} \leq n$，所以$E\left[\frac{1}{|Y| + 1/n}\right] \leq n < \infty$；又因为$X$和$\frac{1}{|Y| + 1/n}$独立，且$E[X]=0$，根据独立随机变量乘积的期望性质（当两个变量的期望都有限时成立），可以得到：
$$E\left[\frac{X}{|Y| + 1/n}\right] = E[X] \cdot E\left[\frac{1}{|Y|+1/n}\right] = 0$$

但到了$Z = \frac{X}{|Y|}$这里，我就卡住了：因为$E\left[\frac{1}{|Y|}\right]$不一定有限，所以不能直接套用上面的结论。我尝试用变换定理和富比尼定理来展开期望：
$$E\left[\frac{X}{|Y|}\right] = \int_{\mathbb R^2} \frac{x}{|y|} d (\mu \otimes\nu) = \int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} \frac{x}{|y|} d\mu(x) d\nu(y)$$
不过这里因为积分不满足绝对收敛的条件，所以没法把这个二重积分拆成两个单积分的乘积，自然也就没法利用$E[X] = \int_{\mathbb R}x d\mu(x) = 0$这个条件。

我的疑问 #

1. 这种情况下，应该如何处理$E[Z]$的存在性或者具体取值？有没有办法证明它也是0，或者说明它不存在？
2. 题目给出的那个极限条件到底有什么作用？它能帮助我们得到关于$\frac{1}{|Y|}$的期望或者积分性质吗？比如能不能判断$E\left[\frac{1}{|Y|}\right]$是否有限，或者给它的积分行为提供约束？

麻烦各位大佬给点提示或者思路，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathhello