关于SU(2)李群几何特性及不同表示下认知变化的技术问询

作为研究李群与表示论的同行，我来逐个拆解你的问题：

Q1：如何可视化SU(2)元素作为变换在流形上的作用？ #

首先，我们知道SU(2)作为流形等价于3维球面$S^3$，同时它也是3维旋转群$SO(3)$的双覆盖——每个SU(2)元素（单位四元数）对应$SO(3)$中的一个旋转操作，且互为相反数的两个四元数对应同一个旋转。从这个角度，你可以把SU(2)的元素直接可视化成3D空间中的旋转：比如用轴角表示，每个SU(2)元素对应绕某个过原点的轴旋转$\theta$角（$\theta$范围是$[0,2\pi)$，而$SO(3)$中旋转角是$[0,\pi)$，这就是双覆盖的来源）。

如果考虑SU(2)对自身流形$S^3$的变换，最直观的是左乘/右乘作用：对任意$g \in SU(2)$，左乘映射$L_g: h \mapsto gh$是$S^{3$上的等距变换（因为SU(2)具有双不变黎曼度量，左乘保持这个度量）。而$S}3$的等距群是$SO(4)$，SU(2)的左乘作用其实是$SO(4)$的一个子群作用，你可以把它想象成$S^{3$上的“旋转”操作，只是这个旋转是在4维欧氏空间中限制在$S}3$上的。

Q2：切换到不同表示时，SU(2)的流形视角会改变吗？ #

完全不会。这里要明确一个核心概念：李群的流形结构是其内在属性，和表示无关。

表示本质上是从SU(2)到一般线性群$GL(n,\mathbb{C})$的一个连续同态——它只是把SU(2)中的每个元素映射成一个$n \times n$的可逆矩阵，但并没有改变SU(2)本身作为集合、拓扑空间、光滑流形的结构。比如：

• 2维基本表示中，元素是行列式为1的2×2幺正矩阵；
• 10维不可约表示（比如9次对称幂表示$\text{Sym}^9(\mathbb{C}2)$）中，元素是10×10的幺正矩阵；
  但不管哪种表示，原SU(2)的元素依然对应$S^{3$上的点，流形结构还是$S}3$，拓扑性质（比如单连通、紧）也完全不变。

Q3：SU(2)的几何特性会随表示变化吗？ #

分两种情况来看：

1. 内在几何：完全不变。SU(2)的内在几何由其李群结构决定——它是紧、单连通的单李群，具有双不变黎曼度量，在这个度量下$S^3$是常正曲率流形（截面曲率为正，调整尺度后可以设为1）。这些性质（比如李代数的括号结构、群的同伦群、内在曲率）都是SU(2)本身的属性，和你选择哪种表示无关。
2. 外在几何：如果通过表示把SU(2)嵌入到$GL(n,\mathbb{C})$（或$U(n)$）中，作为高维空间的子流形，它的诱导度量可能会变化。比如2维表示嵌入到$U(2)$中，10维表示嵌入到$U(10)$中，这两种嵌入下的外在几何（比如子流形的第二基本形式）会不同，但这只是嵌入带来的外在属性，不是SU(2)自身的内在几何。

总结来说，不管用哪种表示，SU(2)作为李群的核心几何和拓扑特性都是固定的，变化的只是我们用矩阵描述它的方式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者f_garcia