求解满足函数方程$f(x^{2}) = \frac{f(x)}{1 + x}$且在$x=0$处连续的实值函数

算力阿峰

2026-4-21

你已经摸到正确方向啦！反向迭代可能有点绕，不如试试正向迭代——也就是不断把x替换成x²，利用x∈(-1,1)时$x^{2n}$会趋近于0的性质，结合连续性来推导，具体步骤如下：

先对原方程进行正向迭代：
对任意$x∈(-1,1)$，重复应用原方程n次：
$$
f(x^{2n}) = \frac{f(x^{2{n-1}})}{1 + x^{2{n-1}}} = \frac{f(x^{2{n-2}})}{(1 + x^{2{n-2}})(1 + x^{2{n-1}})} = \dots = \frac{f(x)}{\prod_{k=0}^{n-1} (1 + x^{2k})}
$$
整理后得到：
$$
f(x) = f(x^{2n}) \times \prod_{k=0}^{n-1} (1 + x^{2k})
$$
利用连续性和极限：
因为$|x|<1$，当$n→∞$时，$x^{2n} \to 0$（不管x正负，x²的多次方都会趋向0）。又因为f在x=0处连续，所以$\lim_{n \to \infty} f(x^{2n}) = f(0)$。
计算乘积的极限：
这是个经典的望远镜乘积，利用公式$(1 - x)\prod_{k=0}^{n-1} (1 + x^{2k}) = 1 - x^{2n}$（展开验证：$(1-x)(1+x)=1-x²$，再乘$(1+x²)=1-x⁴$，以此类推）。因此：
$$
\prod_{k=0}^{n-1} (1 + x^{2k}) = \frac{1 - x^{2n}}{1 - x}
$$
当$n→∞$时，$x^{2n} \to 0$，所以这个乘积的极限是$\frac{1}{1 - x}$。
得到函数形式：
把极限代入f(x)的表达式：
$$
f(x) = f(0) \times \frac{1}{1 - x}
$$
这里$f(0)$是任意实常数，记它为$C$，那么所有解就是$f(x) = \frac{C}{1 - x}$，其中$C∈\mathbb{R}$。
验证解的正确性：
代入原方程左边：$f(x^2) = \frac{C}{1 - x^2}$
右边：$\frac{f(x)}{1+x} = \frac{C/(1-x)}{1+x} = \frac{C}{(1-x)(1+x)} = \frac{C}{1 - x^2}$
左右两边相等，而且$f(x)=\frac{C}{1-x}$在$(-1,1)$上连续，自然在$x=0$处连续，完全满足条件。