《从高等观点看初等几何》中定理B-5的可证性疑问及求证请求

我最近在啃Edwin E. Moise的《Elementary Geometry from an Advanced Standpoint》学几何，翻到第63页时卡壳了：作者把定理B-5列进了介于关系的基本性质，但完全没给证明，可前面的B-1到B-4都有完整的推导过程。先把相关原文贴出来：

THEOREM B-5. IF A-B-C, then A, B, and C are three different points of the same line.

This held, of course, under our original definition of the relation A-B-C.

For convenience of reference, we list the basic properties of betweenness.

B-1. If A-B-C, then C-B-A.
B-2. Of any three points on a line, exactly one is between the other two.
B-3. Any four points of a line can be named in an order A, B, C, D, in such a way that A-B-C-D.
B-4. If A and B are any two points, then (1) there is a point C such that A-B-C, and (2) there is a point D such that A-D-B.
B-5. If A-B-C, then A, B, and C are three different points of the same line.

Moise给出的介于关系（betweenness）定义是这样的：

DEFINITION. Let A, B, and C be three collinear points. If AB + BC = AC, then B is between A and C. In this case we write A-B-C.

按照这个定义字面意思，我发现了个问题：比如A=B=C时，AB=0、BC=0、AC=0，显然满足AB+BC=AC；甚至A=B≠C时，AB=0，BC=AC，也符合等式。但定理B-5明确说A、B、C必须是三个不同的共线点，这就让我疑惑了——难道B-5不该是定义的一部分吗？能不能用书中之前给出的公理、定义和已证的B-1到B-4来严格证明B-5？

结合书中内容的求证思路 #

要证明B-5，我们可以拆成两部分：三点共线和三点互不相同，分别推导：

1. 证明A、B、C共线

这部分其实直接来自介于关系的定义：定义开头就明确了“A, B, and C be three collinear points”作为前提，所以只要A-B-C成立，三点必然共线，这一步不需要额外证明。

2. 证明A、B、C互不相同

这里需要结合书中的距离公理（前面章节已给出：两点间距离≥0，当且仅当两点重合时距离为0）和已证的定理B-4：

• 反证法证明A≠B：
  假设A=B，那么根据A-B-C的定义，AB + BC = AC → 0 + BC = AC，而因为A=B，AC=BC，等式成立。但结合定理B-4(2)：“对于任意两点A和B，存在点D使得A-D-B”。如果A=B，那么这个结论就变成“存在点D使得A-D-A”，代入介于关系定义得：AD + DA = AA → 2AD = 0 → AD=0，即D=A。这意味着唯一满足条件的点就是A本身，而定理B-4隐含了“存在不同于A、B的点”（否则这个定理就没有实际意义），所以假设不成立，A≠B。

• 同理证明B≠C：
  假设B=C，根据A-B-C的定义得AB + 0 = AC → AB=AC。结合定理B-4(1)：“对于任意两点A和B，存在点C使得A-B-C”。如果B=C，就变成“存在点E使得B-C-E”（即B-B-E），代入定义得BC + CE = BE → 0 + CE = BE → CE=BE，即E=B=C，同样和B-4隐含的“存在不同点”矛盾，所以B≠C。

• 证明A≠C：
  假设A=C，那么AC=0，根据定义AB + BC = 0。因为距离非负，所以AB=0且BC=0，即A=B且B=C，也就是A=B=C。这时候再看定理B-4(1)，对于A和B，需要存在点C使得A-B-C，但C=A=B，同样不符合定理的隐含要求，所以假设不成立，A≠C。

这样就完整证明了A、B、C是三个不同的点，结合共线的结论，定理B-5得证。

额外思考 #

其实Moise没给证明，可能是因为在几何语境中，当定义里提到“three collinear points”时，默认是指三个不同的点，所以B-5的结论直接来自定义前提。但如果严格抠字面定义，就需要上面的补充证明来排除重合情况。

你有没有更贴合Moise书中逻辑的证明方式？欢迎一起讨论～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bruno de Paula Assunção