如何利用“满射当且仅当存在右逆”形式的选择公理，由Hartogs引理推导集合的良序定理？

嘿，我来帮你梳理清楚这个思路——你已经搞定了Hartogs引理，现在想直接用「满射等价于存在右逆」这个版本的选择公理（AC），推导出从Hartogs序数α到集合S的满射，进而得到S的良序，对吧？咱们一步一步来，完全贴合你想要的AC形式：

首先回顾已知条件：

• Hartogs引理告诉我们，存在最小的序数α，不存在从α到S的单射。换句话说，任何小于α的序数β，都能找到单射β→S。

接下来我们用你指定的AC形式（若$f:X→Y$是满射，则存在$g:Y→X$使得$f∘g=id_Y$）来构造满射：

步骤1：递归构造单射序列 #

我们可以递归地给每个小于α的序数γ，构造单射$f_γ:γ→S$：

• 基例（γ=0）：$f_0$是空函数，显然是单射。
• 后继序数（γ+1）：假设已经有单射$f_γ:γ→S$，它的像$A=Im(f_γ)$是S的子集。如果$A=S$，那$f_γ$就是满射γ→S，直接结束；如果$A⊂S$，我们定义一个满射$g:S→{0,1}$：$g(s)=0$当$s∈A$，$g(s)=1$当$s∉A$。根据你用的AC形式，这个满射存在右逆$h:{0,1}→S$，其中$h(1)∈S\setminus A$。我们把$f_γ$扩展成$f_{γ+1}:γ+1→S$：对δ<γ，$f_{γ+1}(δ)=f_γ(δ)$；对δ=γ，$f_{γ+1}(γ)=h(1)$。显然这还是单射。
• 极限序数（λ<α）：把所有γ<λ的$f_γ$取并，得到$f_λ:λ→S$——因为每个$f_γ$都是$f_{γ'}$的扩展（γ<γ'<λ），所以$f_λ$是良定义的单射。

步骤2：导出满射的存在性 #

这个递归不可能一直推进到α——否则我们会得到单射$f_α:α→S$，直接和Hartogs引理矛盾。所以必然存在某个γ<α，使得$Im(f_γ)=S$，也就是$f_γ$是满射γ→S。

步骤3：定义S的良序 #

有了满射$f_γ:γ→S$，我们就能给S赋予良序：对任意$s,t∈S$，定义$s<t$当且仅当$\min(f_γ^{-1}(s)) < \min(f_γ^{-1}(t))$。因为γ是序数自带良序，这个定义出来的关系自然也是S上的良序。

这样就完全用你指定的AC形式，从Hartogs引理推导出了S的良序，没有绕到其他AC等价形式哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nylonco