证明从Banach空间到其对偶空间的线性映射的连续性

嘿，这个问题咱们可以用闭图像定理来搞定，你提到的类似内积的结构正好是关键铺垫，咱们一步步来~

首先先明确问题：

设$V$是实数域上的Banach空间，$T: V \to V^\ast$是线性映射（这里$T(v)$记作$T_v$，是$V$上的连续线性泛函），满足对所有$v\in V$，有$T_v(v)\ge0$。证明$T$是连续的。

第一步：推导类似柯西-施瓦茨的不等式铺垫 #

先定义双线性形式$B(v,w) = T_v(w)$，它满足：

• 双线性：因为$T$是线性映射，所以$B(av_1+bv_2,w)=aB(v_1,w)+bB(v_2,w)$，$B(v,aw_1+bw_2)=aB(v,w_1)+bB(v,w_2)$
• 正性：$B(v,v)=T_v(v)\ge0$对所有$v\in V$成立

对任意$v,w\in V$和实数$t$，考虑$B(v+tw, v+tw)\ge0$，展开这个式子：
$$T_v(v) + t\left(T_v(w)+T_w(v)\right) + t^2 T_w(w) \ge 0$$
这是关于$t$的二次函数，开口向上（因为$T_w(w)\ge0$），因此它的判别式必须$\le0$，即：
$$\left(T_v(w)+T_w(v)\right)^2 \le 4T_v(v)T_w(w)$$
这个类似柯西-施瓦茨的结论会在后续推导中帮我们理清边界。

第二步：用闭图像定理证明连续性 #

闭图像定理的核心逻辑是：如果$X,Y$是Banach空间，线性映射$S:X\to Y$的图像是闭集（即若$x_n\to x$且$S(x_n)\to y$，则$S(x)=y$），那么$S$是连续的。

对咱们的问题，只需证明：若$v_n\to v$（在$V$中）且$T(v_n)\to f$（在$V^\ast$中），则$T(v)=f$。我们可以先简化情况：假设$v_n\to0$，且$T(v_n)\to f$，只需证明$f=0$（一般情况可令$u_n = v_n - v$，转化为$u_n\to0$、$T(u_n)\to f-T(v)$的情况）。

首先看$T(v_n)(v_n)$：因为$T(v_n)$在$V^{\ast$中收敛，所以$|T(v_n)|_{V}\ast}$是有界的（收敛序列必有界），设这个界为$M$。而$v_n\to0$，因此：
$$|T(v_n)(v_n)| \le |T(v_n)|_{V^\ast} \cdot |v_n|_V \le M|v_n|V \to 0$$
即$\lim{n\to\infty}T(v_n)(v_n)=0$。

接下来，对任意$w\in V$和实数$t$，考虑$T(v_n + tw)(v_n + tw)\ge0$，展开得：
$$T(v_n)(v_n) + tT(v_n)(w) + tT(w)(v_n) + t^2T(w)(w) \ge 0$$
令$n\to\infty$：

• $T(v_n)(v_n)\to0$
• $T(v_n)(w)\to f(w)$（因为$T(v_n)\to f$）
• $T(w)(v_n)\to T(w)(0)=0$（因为$T(w)\in V^\ast$是连续泛函，$v_n\to0$）

所以极限式子变为：
$$t f(w) + t^2 T(w)(w) \ge 0 \quad \forall t\in\mathbb{R}$$

现在分两种情况讨论：

1. 若$T(w)(w)>0$：假设$f(w)\neq0$，取$t = -\frac{1}{k}\cdot\frac{f(w)}{T(w)(w)}$（$k>0$），代入式子得：
   $$-\frac{f(w)^2}{k T(w)(w)} + \frac{f(w)^2}{k2 T(w)(w)} \cdot T(w)(w) = \frac{f(w)^2}{k}\left(-1 + \frac{1}{k}\right)$$
   当$k>1$时，这个式子小于0，和非负性矛盾，因此$f(w)=0$。
2. 若$T(w)(w)=0$：式子简化为$t f(w)\ge0$对所有$t\in\mathbb{R}$成立，这只有$f(w)=0$才可能（否则取$t$为正或负会让式子变负）。

综上，对任意$w\in V$，$f(w)=0$，即$f=0$，满足闭图像定理的条件。因此$T$的图像是闭集，结合$V$和$V^\ast$都是Banach空间，可得$T$是连续的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者S. Chitratta