SU(2)群表示的可约性判断、不可约分解及特征标求解问题

嗨，我来帮你理清楚这个SU(2)表示的问题，结合你的物理背景，尽量用你熟悉的方式解释~

一、可约性确认 #

你已经发现的结论完全正确：这个4维表示是可约的。
原因正如你所说，向量$(1,0,0,0)$和$(0,0,0,1)$张成的2维子空间是SU(2)变换的不变子空间——所有生成元$\lambda_i$作用在这两个向量上都得到零向量，因此群元$U=e^{i\sum_i\alpha_i\lambda_i}$作用在它们上面时，指数展开后只有单位矩阵项，向量保持不变，满足不变子空间的定义。

二、不可约表示分解 #

SU(2)的不可约表示通常用自旋量子数$s$标记，对应的表示维度是$2s+1$，结合你的情况，分解如下：

• 两个1维平凡表示（$s=0$）：刚才提到的$(1,0,0,0)$和$(0,0,0,1)$各自构成一个1维不变子空间，SU(2)群元作用在这些向量上完全不改变它们，这就是SU(2)的平凡表示（也叫恒等表示）。
• 一个2维基本表示（$s=1/2$）：剩下的$(0,1,0,0)$和$(0,0,1,0)$张成的2维子空间，把生成元$\lambda_i$限制在这个子空间时，你会发现它们就是泡利矩阵$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$——这正是SU(2)的基本表示（自旋1/2表示），SU(2)群元作用在这个子空间上的效果就是标准的自旋1/2旋转变换。

所以整体的分解可以写成：
$$4\text{维表示} = 1\text{维平凡表示} \oplus 1\text{维平凡表示} \oplus 2\text{维基本表示}$$
或者用SU(2)表示的维度标记法：$4=1\oplus1\oplus2$。

三、特征标计算 #

特征标是群元的迹，对于直和表示，总特征标等于各个不可约表示特征标的和，结合SU(2)的性质：

• 平凡表示的特征标：对任意SU(2)群元，迹都是$1$（因为群元作用是单位矩阵）。
• 2维基本表示的特征标：对于SU(2)中对应旋转角度$\theta$的共轭类（群元可写成$e^{i\theta\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}/2}$，$\boldsymbol{n}$是旋转轴单位向量），特征标为$2\cos(\theta/2)$。

因此，你的4维表示的特征标为：
$$\chi(\theta) = 1 + 1 + 2\cos(\theta/2) = 2 + 2\cos(\theta/2)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者physics_quantum975