泊松分布问题解法验证

问题描述 #

On average, one person enters a casino every 10 minutes. Determine:
a) The probability that no person will enter the casino between 12:00 and 12:30.
b) The probability that at least 4 people enter the casino between 12:00 and 12:30.

我的解题尝试 #

• 已知平均每10分钟有1人进入赌场，由此推出平均每30分钟有3人进入，即泊松分布的参数 $\lambda = 3$，定义随机变量 $X \sim Poisson(3)$。
• a) 计算无人进入的概率：$\mathbb{P}(X=0) = \frac{e^{{-\lambda}\lambda}k}{k!} = \frac{1}{e^3}$
• b) 计算至少4人进入的概率：$\mathbb{P}(X \geq 4) = 1 - \mathbb{P}(X < 4) = 1 - \mathbb{P}(X \leq 3) = 1-e^{{-\lambda}\sum\limits_{j=0}}{3}\frac{\lambda^j}{j!}$

解法验证与结论 #

完全正确！你的思路和计算步骤都没有问题：

1. 参数确定环节：你准确地将10分钟的平均到达人数转换为目标30分钟区间的$\lambda=3$，这是泊松分布应用的核心——必须保证时间区间和分布参数的匹配，这一步你做的很到位。
2. 问题a的求解：直接套用泊松分布的概率质量函数计算$X=0$的情况，推导过程和最终结果$\frac{1}{e^3}$都是正确的。
3. 问题b的求解：你利用概率的互补性，通过计算$X\leq3$的累积概率再用1减去它来得到$X\geq4$的概率，这是处理“至少n个”这类概率问题的标准高效思路，公式推导也完全无误。

如果需要具体数值参考的话，代入$\lambda=3$计算可得：

• $\mathbb{P}(X=0) \approx 0.0498$
• $\mathbb{P}(X\geq4) = 1 - e^{-3}(1 + 3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{6}) = 1 - 13e^{-3} \approx 0.3528$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ProofSeeker