关于关系传递性两种定义的等价性及相关逻辑推广的技术问询
嘿，这个问题戳中了逻辑量词顺序和蕴含式结合的一个容易混淆的点，咱们先把核心问题拆开来分析，先从传递性的两个定义说起，再聊你提到的逻辑推广问题。
一、先澄清传递性的两个定义：可能存在括号误解！
首先看你给出的两个定义：
- 老师的定义：
$$R \ \text{is transitive} \triangleq \forall a,c \in A ( \ \exists b \in A ( \ (aRb \wedge bRc) \implies aRc \ ) \ )$$ - 标准定义：
$$R \ \text{is transitive} \triangleq \forall a,b,c \in A ( \ (aRb \wedge bRc) \implies aRc \ )$$
这里要先提一个关键的括号位置问题：如果严格按照你写的老师的定义，它其实和标准定义不等价——甚至这个定义是恒真的，不管R是不是传递关系都满足！
为什么？因为蕴含式$(P \implies Q)$的逻辑等价于$\neg P \lor Q$。对于任意给定的a和c，我们总能找到一个b使得$\neg(aRb \land bRc)$成立（比如找一个b不满足aRb，或者不满足bRc），这时候整个蕴含式就是真的，所以$\exists b [(aRb \land bRc) \implies aRc]$必然为真，进而整个全称量词$\forall a,c$的命题也为真。这显然和传递性的本意矛盾，所以大概率是你或者老师在写定义的时候括号位置错了。
正确的等价写法：老师的定义应该是这样
老师想表达的大概率是：如果存在某个b使得aRb且bRc，那么aRc，也就是把存在量词放到蕴含式的前件里，写法应该是：
$$R \ \text{is transitive} \triangleq \forall a,c \in A ( \ (\exists b \in A (aRb \wedge bRc)) \implies aRc \ )$$
这个定义就和标准定义完全等价了，咱们来证明：
证明等价性
标准定义 ⇒ 修正后的老师定义
假设标准定义成立：对所有a,b,c，只要aRb且bRc，就有aRc。
现在取任意a,c，如果存在b使得aRb且bRc，那根据标准定义，这个b对应的aRc一定成立，所以$(\exists b (aRb \land bRc)) \implies aRc$为真。如果不存在这样的b，那蕴含式的前件为假，整个蕴含式也为真。因此修正后的老师定义成立。修正后的老师定义 ⇒ 标准定义
假设修正后的老师定义成立：对所有a,c，如果存在b使得aRb且bRc，那么aRc。
现在取任意a,b',c，假设aRb'且b'Rc，那$\exists b (aRb \land bRc)$为真（因为b'就是这样的元素），根据修正后的定义，aRc必须成立。这正好就是标准定义的要求。
所以只要把老师定义里的括号调整到正确位置，两个定义就是等价的。
二、关于你提到的逻辑推广：$\forall a,b,c P(a,b,c) \iff \forall a,c \exists b P(a,b,c)$ 不成立！
这个等价关系是不成立的，我们可以举两个简单的反例：
反例1：P(a,b,c) = "a < b < c"（在整数集ℤ中）
- 左边$\forall a,b,c P(a,b,c)$：意思是“对所有整数a,b,c，都满足a < b < c”，显然是假的（比如a=3,b=2,c=1就不满足）。
- 右边$\forall a,c \exists b P(a,b,c)$：意思是“对所有整数a,c，都存在整数b使得a < b < c”，也是假的（比如a=2,c=3，没有整数b在2和3之间）。
两者真值不同，显然不等价。
反例2：P(a,b,c) = "b = a"
- 左边$\forall a,b,c P(a,b,c)$：意思是“对所有a,b,c，b都等于a”，显然是假的（比如b=2,a=1就不满足）。
- 右边$\forall a,c \exists b P(a,b,c)$：意思是“对所有a,c，存在b使得b=a”，这是真的（只要取b=a就行）。
一个真一个假，直接说明等价关系不成立。
本质上，全称量词和存在量词的顺序不能随意调换，它们的逻辑含义差异很大：$\forall x \exists y P(x,y)$是“对每个x，都存在至少一个y满足P”，而$\forall x \forall y P(x,y)$是“对所有x和y，都满足P”，后者的要求严格得多，前者完全不能推出后者。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者the thinker
