基变换是否会影响内积？

你这里的核心困惑其实是把向量本身和它在某个基下的坐标表示搞混啦！

先明确一个关键点：内积是定义在向量空间里的向量本身上的，不是定义在坐标数字上的。拿你说的Euclidean内积（也就是点积）来说，它的本质是两个向量的“几何属性”——比如对应分量相乘再相加，这个操作是针对向量本身的，和你用哪个基来描述它无关。

举你的例子来看：向量b₁不管用什么基表示，它都是平面上那个从原点指向(1,-1)的箭头，这是不变的。当你用标准基（也就是canonical basis）时，它的坐标是[1,-1]，这时候计算<b₁,b₁>就是1×1 + (-1)×(-1)=2，这是对的。

但你用B基的坐标[1,0]直接做“坐标点积”得到1，这其实是错误的计算方式——因为这个操作默认了你用的基是正交归一的（就像标准基那样），但B基并不是正交归一的呀！

正确的做法是：当你用非标准基时，内积需要通过**度量矩阵（Gram矩阵）**来计算。这个矩阵的元素Gᵢⱼ就是基向量bᵢ和bⱼ的内积。对于你的B基：

• G₁₁ = <b₁,b₁> = 2
• G₁₂ = <b₁,b₂> = 1×0 + (-1)×1 = -1
• G₂₁ = <b₂,b₁> = -1（内积是对称的）
• G₂₂ = <b₂,b₂> = 0×0 + 1×1 = 1

所以度量矩阵G就是：

[[2, -1],
 [-1, 1]]

这时候用B基的坐标[1,0]计算<b₁,b₁>，应该是坐标向量的转置乘以G再乘以坐标向量：
[1, 0] × G × [1; 0] = 1×2×1 + 1×(-1)×0 + 0×(-1)×1 + 0×1×0 = 2
你看，结果和标准基下的计算完全一致！

总结一下：内积是向量的固有属性，和你选择的基没有关系。你之前得到不同结果，是因为用了错误的计算方法——直接对非正交归一基的坐标做Euclidean点积，而没有用对应基的度量矩阵来转换。只要用正确的方法计算，不管用哪个基，内积的结果都是一样的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者William