微积分1：极值问题中函数临界点的求解方法疑问

嗨，Kayla！我来帮你理清这个问题的关键所在——你出错的原因其实是解方程时犯了一个很常见的新手误区，咱们一步步拆解：

首先，先确认一下求导过程是对的：对于函数 $f(t) = 2\cos(t) + \sin^2 (t)$，导数确实是 $f'(t) = -2\sin(t) + 2\sin(t)\cos(t)$，这部分你完全没问题。

你的解法为什么漏掉了解？ #

你把方程变形为 $2\sin(t)\cos(t) = 2\sin(t)$ 后，直接两边除以了 $2\sin(t)$，得到 $\cos(t)=1$，进而得到 $t=2k\pi$（k为整数）。但这里有个核心问题：当你两边除以一个代数式时，必须保证这个代数式不等于0，否则这个操作是不合法的！

在这个方程里，当 $2\sin(t)=0$ 时，等式两边都是0，这个等式是成立的，但你直接除以 $2\sin(t)$ 的操作，相当于默认了 $2\sin(t)≠0$，直接把这种情况排除了，自然就漏掉了这部分解。

老师的解法为什么正确？ #

老师用了因式分解的方法，把导数方程整理成：
$$-2\sin t(1 - \cos t) = 0$$
根据“两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的规则，我们可以拆分出两种必须考虑的情况：

• 情况1：$-2\sin(t)=0$，也就是 $\sin(t)=0$，此时解为 $t=k\pi$（k为整数）
• 情况2：$1 - \cos(t)=0$，也就是 $\cos(t)=1$，此时解为 $t=2k\pi$（k为整数）

你会发现，情况2的解其实是情况1解的子集（当k为偶数时，$t=2k\pi$ 就是 $\sin(t)=0$ 的解），所以最终这个函数的临界点是所有满足 $t=k\pi$（k为整数）的点。

举个更简单的例子帮你理解：比如解方程 $x(x-1)=0$，如果你直接两边除以x得到 $x-1=0$，就会漏掉x=0这个解——和你这次的错误完全是同一个逻辑！

别担心，这种错误刚开始学微积分时特别容易犯，记住这个核心原则：解方程时，除非能确定要除以的表达式绝对不为0，否则一定要用因式分解的方式找出所有可能的解，不能随便做除法操作。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kayla