关于鞅、半鞅及一般随机过程超越任意阈值性质的技术问询

我最近在探究随机过程的长期行为，遇到几个核心问题想请教各位专家：

• 对于取值在实状态空间、且不收敛到退化随机变量的鞅（比如几何布朗运动GBM这类典型例子），是不是不管从哪个初始值出发，针对状态空间里的任意值$y$，随着时间趋于无穷，过程**至少一次（进而无穷多次）**超越$y$的概率都是1？
• 那半鞅是否也满足这个性质？更一般地，最宽泛的一类随机过程是什么样的——不管从哪个初始值出发，随着时间趋于无穷，过程能以概率1至少一次超越任意给定的上阈值$y_2$，同时至少一次低于任意给定的下阈值$y_1$（其中$y_1 < y_2$）？
• 上述这些结论的形式化理论依据是什么？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jada