含$x_1^2-x_1,\dots,x_n^2-x_n$生成元的多线性多项式理想是否必为根理想？

这个问题挺值得琢磨的——假设我们有一个理想$I \subset \mathbb{F}[x_1, \dots, x_n]$，其中包含了$x_1^2 - x_1,\dots,x_n^2 - x_n$这些多项式（当然可能还有其他生成元），这类理想被称为多线性理想，因为理想里的每个元素在每个变量上都是一次多项式。现在想确认：这样的$I$一定是根理想吗？

我用Sage做了不少实验，暂时没找到能推翻这个结论的反例。比如理想$\langle x^2 - x, y^2 - y, (x+y)^2 \rangle$就是根理想，甚至还能通过展开下面的式子得到$x+y$：
$$(x+y)^2(2xy - 3x - 3y + 5)$$
展开后利用$x^2=x$、$y2=y$这些关系式把变量的指数都约简到1，再除以2就能得到$x+y$。不过这种看起来有点“奇怪”的等式，并没有给我提供什么构造性证明的思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Glenn Sun