关于实射影空间ℝP³与3维单位球商空间同胚性的疑问

看起来你是把$\mathbb{R}P^{3$和$\mathbb{R}P}2$的构造搞混啦！你之前想的“把射影空间的线映射到$\mathbb{R}^{3$中的单位方向向量”，其实是构造$\mathbb{R}P}2$（$\mathbb{R}^{3$的射影空间）的方法——但$\mathbb{R}P}3$是**$\mathbb{R}^{4$的射影空间**，每个等价类是$\mathbb{R}}4$中过原点的直线，不是$\mathbb{R}^3$的，所以那个映射自然没法覆盖3维单位球$B$的内部点~

接下来给你一步步讲怎么构造这个同胚：

首先明确两个空间的定义：

• $\mathbb{R}P^{3$：$\mathbb{R}}4 \setminus {0}$模掉等价关系 $v \sim \lambda v$（$\lambda \in \mathbb{R}\setminus{0}$），也等价于3维球面$S^3 = { (x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^4 \mid x_0^2+x_12+x_2^2+x_32=1 }$模掉对径点等价（$x \sim -x$）。
• 目标商空间：$B/\sim$，其中$B = { x \in \mathbb{R}^3 \mid |x| \leq 1 }$，等价关系是边界上的点$x$与$-x$粘合（内部点只和自己等价）。

构造同胚的具体步骤 #

我们可以通过从$S^3$到$B/\sim$的商映射来诱导同胚：

1. 把$S^3$中的点写成$(x_0, \vec{x})$，其中$\vec{x} = (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^{3$，满足$x_0}2 + |\vec{x}|^2 = 1$。
2. 定义映射$f: S^3 \to B/\sim$：
   • 当$x_0 \geq 0$时，把$(x_0, \vec{x})$映射到$B$中$\vec{x}$的等价类$[\vec{x}]$；
   • 当$x_0 \leq 0$时，把$(x_0, \vec{x})$映射到$B$中$-\vec{x}$的等价类$[-\vec{x}]$。

验证这个映射的性质：

• 良定义：当$x_0 = 0$时，$|\vec{x}| = 1$（属于$B$的边界），此时$[\vec{x}] = [-\vec{x}]$，所以两种情况的结果一致，没有矛盾。
• 满射：任取$[y] \in B/\sim$，其中$y \in B$，取$x_0 = \sqrt{1 - |y|^2} \geq 0$，则$(x_0, y) \in S^3$，且$f(x_0, y) = [y]$，覆盖了所有等价类。
• 商映射：$S^3$是紧空间，$B/\sim$是Hausdorff空间（因为$B$是紧Hausdorff，粘合的等价关系是闭等价关系），连续满射从紧空间到Hausdorff空间必是商映射。
• 诱导同胚：这个映射恰好把$S^3$中的对径点映射到$B/\sim$中的同一个点（比如$(x_0, \vec{x})$和$(-x_0, -\vec{x})$，前者映射到$[\vec{x}]$，后者映射到$[-(-\vec{x})] = [\vec{x}]$），所以它诱导了一个连续双射$\bar{f}: \mathbb{R}P^3 = S^3/\sim \to B/\sim$。而紧空间到Hausdorff空间的连续双射就是同胚。

换个角度理解：从$B$商空间到$\mathbb{R}P^3$ #

反过来想也很直观：

• 对于$B$内部的点$y$（$|y| < 1$），对应$\mathbb{R}^4$中过原点的直线${ (t, ty) \mid t \in \mathbb{R}\setminus{0} }$——这条线不在$\mathbb{R}^3$子空间里（第一个坐标非零），每个内部点对应唯一的线。
• 对于$B$边界的点$y$（$|y| = 1$），对应$\mathbb{R}^4$中过原点的直线${ (0, ty) \mid t \in \mathbb{R}\setminus{0} }$，此时$y$和$-y$对应同一条线，正好符合粘合规则。

这个映射是连续、满射、单射的，再利用紧→Hausdorff的性质，就能证明是同胚啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user56202