关于积分$I = 2\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{e^{t^{2}}+1}$计算错误的排查请求

嘿，我来帮你梳理一下这个积分计算里的问题，咱们一步步拆解：

第一个核心错误：误用分部积分公式 #

你用到的这个式子：
$$\int\frac{u.dx}{v} = \int\frac{v.du - u.dv}{v(x)^{2}}$$
这不是分部积分公式，它其实是商的导数公式的变形：$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu - udv}{v^2}$，如果把两边积分，得到的是$\frac{u}{v} = \int\frac{vdu - udv}{v^2}$，和你写的完全不是一回事。

正确的分部积分公式是：
$$\int u , dv = uv - \int v , du$$
如果非要用分部积分处理这个积分，得先把积分拆成$\int u dv$的形式，比如设$u=1$，$dv=\frac{dt}{e^{t2}+1}$，但这样$du=0$，会得到：
$$\int_0^\infty \frac{dt}{e^{t2}+1} = \frac{t}{e^{t2}+1}\bigg|_0^\infty - \int_0^\infty t \cdot d\left(\frac{1}{e^{t2}+1}\right)$$
不过这其实不是最简便的计算路径，咱们先看你步骤里的其他问题。

第二个错误：变量代换的上下限错误 #

你令$k = e^{t2} + 1$，$dk=2te^{t2}dt$这部分是对的，但积分上下限必须同步替换：

• 当$t=0$时，$k=e^{0}+1=2$；
• 当$t\to\infty$时，$k\to\infty$；
  所以积分应该变成$\int_{2}^{{\infty}\frac{dk}{k}2}$，而不是你写的$\int_{0}^{{\infty}\frac{dk}{k}2}$，这直接导致后续极限计算完全出错。

第三个错误：极限代入的逻辑错误 #

就算忽略前面的问题，你代入极限时的符号和上下限处理也有问题。正确代入上下限的话，$\int_{a}^{{b}\frac{dk}{k}2} = \left|-\frac{1}{k}\right|_a^b = -\frac{1}{b} + \frac{1}{a}$，结合你前面的系数，结果也不会是你得到的0和-1。

正确的思路参考 #

这个积分确实和Dirichlet eta函数$\eta\left(\frac{1}{2}\right)$有关，我们可以用级数展开来计算：
因为$\frac{1}{e^{t2}+1} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}e{-nt^{2}$（这是等比级数求和，当$e}{-t^2}<1$时成立，也就是$t>0$，符合积分区间），然后逐项积分：
$$I = 2\int_{0}^{{\infty}\sum_{n=1}}{\infty} (-1)^{n-1}e{-nt^2}dt = 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{{n-1}\int_{0}}{\infty}e^{-nt2}dt$$
而高斯积分$\int_{0}^{\infty}e{-nt^2}dt = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{n}}$，代入后得到：
$$I = 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{n}} = \sqrt{\pi}\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{n-1}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\pi}\eta\left(\frac{1}{2}\right)$$
这就是你开头提到的和Dirichlet eta函数的关联啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathnewbie10325