两个关联序列的收敛性分析及表达式推导请求

我来试着拆解这个问题——先聚焦你更关心的收敛性和收敛速率，再聊聊闭式表达式的可能性：

问题回顾 #

给定两个耦合的递推序列：
$$\alpha_{t+1} = (1-\beta_t^2)\alpha_t,$$
$$\beta_{t+1} = (1-C \alpha_t\alpha_{t+1})\beta_t,$$
其中 $C>0$，初始条件满足 $0 <\beta_1<1$ 且 $0<\alpha_1<1$。我们需要：

1. 尽可能推导 $t \geq 2$ 时 $\alpha_t$ 和 $\beta_t$ 关于 $C, \alpha_1, \beta_1$ 的闭式表达式；
2. 分析序列的收敛极限及收敛速率。

收敛性与收敛速率分析 #

1. $\alpha_t$ 的收敛行为 #

从第一个递推式可以直接看出：

• 因为 $0<\beta_t<1$（用数学归纳法可证：初始 $\beta_1\in(0,1)$，假设 $\beta_t\in(0,1)$，则 $1-\beta_t^2\in(0,1)$，因此 $\alpha_{t+1}=(1-\beta_t^2)\alpha_t < \alpha_t$，且 $\alpha_t>0$），所以 $\alpha_t$ 是严格递减的正序列。
• 根据单调有界定理，$\alpha_t$ 必然收敛到某个非负极限 $\alpha^$。对第一个递推式取极限得 $\alpha^*=(1-(\beta)^2)\alpha$，其中 $\beta^$ 是 $\beta_t$ 的极限。结合后面 $\beta_t$ 的收敛分析（$\beta^>0$），可推出 $\alpha^=0$。

关于收敛速率：
当 $t$ 足够大时，$\beta_t$ 趋近于常数 $\beta^$，此时 $\alpha_{t+1}\approx(1-(\beta^*)2)\alpha_t$，这是一个等比递推关系，因此 $\alpha_t$ 会以近似指数速率收敛到0——在对数尺度下（$\ln\alpha_t$）呈现线性递减，和你直觉里的“nearly linearly”在对数尺度下是一致的。如果考虑 $\beta_t$ 趋近 $\beta^$ 的微小偏差，$\alpha_t$ 的衰减会比纯指数慢一点，但整体仍属于指数级衰减范畴，比线性衰减快得多。

2. $\beta_t$ 的收敛行为 #

对第二个递推式变形可得：
$$\frac{\beta_{t+1}}{\beta_t} = 1 - C \alpha_t \alpha_{t+1}$$
因为 $\alpha_t\alpha_{t+1}>0$，所以 $\beta_{t+1}<\beta_t$，结合 $\beta_t>0$，可知 $\beta_t$ 是严格递减的正序列，同样由单调有界定理，$\beta_t$ 收敛到某个正数 $\beta^*\in(0,\beta_1]$。

对递推式取极限，因为 $\alpha_t\to0$，所以极限式变为 $\beta^*=(1-0)\beta$，这是恒等式，无法直接解出 $\beta^$，但我们可以通过累加递推关系得到 $\beta^$ 的隐含表达式：
对 $\ln\beta_{t+1} - \ln\beta_t = \ln(1 - C\alpha_t\alpha_{t+1})\approx -C\alpha_t\alpha_{t+1}$（$t$ 很大时的近似）两边从1到∞求和，可得：
$$\ln\beta^ = \ln\beta_1 - C\sum_{t=1}^\infty \alpha_t\alpha_{t+1}$$
即 $\beta^* = \beta_1 \exp\left(-C\sum_{t=1}^\infty \alpha_t\alpha_{t+1}\right)$，这个式子虽然是隐含形式，但能明确 $\beta^*$ 是一个介于0和 $\beta_1$ 之间的确定正数。

关于收敛速率：
$\beta_{t+1}-\beta_t = -C\alpha_t\alpha_{t+1}\beta_t$，当 $t$ 足够大时，$\beta_t\approx\beta^{*$，$\alpha_{t+1}\approx(1-(\beta})^2)\alpha_t$，因此：
$$\beta_{t+1}-\beta_t \approx -C(\beta^*)2(1-(\beta^*)2)\alpha_t^2$$
因为 $\alpha_t$ 是指数衰减，$\alpha_t^2$ 是平方指数级的小量，所以 $\beta_t$ 的递减增量会越来越小，最终**以超线性速率收敛到 $\beta^$**——比线性收敛（如 $O(1/t)$）快，但比指数收敛慢一点，和你直觉里的“sublinearly”可能存在偏差，实际收敛速率要比亚线性快。

关于闭式表达式的尝试 #

由于两个序列是强耦合的，直接递推展开会得到嵌套的乘积形式，很难化简为只含初始项和 $C$ 的显式闭式：

• $\alpha_t$ 可表示为初始项的乘积：
  $$\alpha_t = \alpha_1 \prod_{k=1}^{t-1} (1 - \beta_k^2)$$
• $\beta_t$ 可表示为：
  $$\beta_t = \beta_1 \prod_{k=1}^{t-1} \left(1 - C \alpha_k^2 (1 - \beta_k^2)\right)$$
  但这两个表达式相互依赖（$\beta_k$ 出现在 $\alpha_t$ 的乘积中，$\alpha_k$ 出现在 $\beta_t$ 的乘积中），没有办法进一步消去嵌套项得到简洁的闭式解，除非给定特殊的初始条件或 $C$ 的取值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者abolfazl