特定类型映射唯一全局吸引不动点处I-J(x*)的可逆性及谱半径相关问题问询

各位好，我最近在研究一类映射的不动点相关性质，遇到了一个关于雅可比矩阵的问题，想向大家请教：

考虑映射 $f: \mathbb{R}+^n \rightarrow \mathbb{R}{++}^n$，如果它满足单调且严格次齐次的条件，那么它在汤普森（Thompson）度量下是压缩映射（参考引理2.1.7）。这里的核心定义如下：

• 单调：对任意 $x, y \in \mathbb{R}_+^n$，若 $x \leq y$，则 $f(x)\leq f(y)$。
• 严格次齐次：对任意 $\alpha\in(0,1)$ 和任意 $x \in \mathbb{R}_+^n$，有 $f(\alpha x) < \alpha f(x)$。
• 压缩映射（汤普森度量下）：满足 $\mu(f(x), f(y)) < \mu(x, y)$，其中 $\mu$ 是 $\mathbb{R}{++}^n$ 上的汤普森度量，定义为：
  $$\mu(x, y) = \max{i=1}^n\left{\log (x_i/y_i)\right}. $$

借助紧空间上的不动点定理，可以证明这类映射的不动点 $x^\star$ 是唯一且全局吸引的（参考定理2.3）。为了推进后续讨论，我额外添加了两个强化假设：

1. $f$ 在 $x^\star$ 处关于汤普森度量是局部$L$-压缩映射：即存在 $L < 1$ 和 $x^\star$ 的邻域 $U$，使得对任意 $x, y \in U$，有
   $$\mu(f(x), f(y)) \leq L \mu(x, y) $$
2. 映射的雅可比矩阵 $J(x)$ 是对称的。

我的核心疑问是：如何保证 $I - J(x^\star)$ 的可逆性？目前已知一个充分条件是证明谱半径 $\rho(J(x^\star)) < 1$，但我在推导时遇到了瓶颈，下面是我已经研究过的两种情形：

已分析的两种情况 #

• 仿射函数情形：根据标准结论，如果 $x^\star$ 是全局吸引的，那么 $\rho(J) < 1$，因此 $I - J(x^\star)$ 的可逆性是完全有保证的。
• 任意可微函数情形：已知若 $f$ 在欧几里得范数 $|\cdot|$ 下是$L$-压缩映射，当且仅当对所有 $x \in \mathbb{R}_+^n$ 有 $|J(x)| \leq L$。由于我们假设 $J(x)$ 对称，此时 $\rho(J(x)) = |J(x)| \leq L < 1$。但这个结论无法直接套用到我的问题中——因为汤普森度量下的局部$L$-压缩映射，并不能推出欧几里得范数下的局部$L$-压缩映射。

想问问各位有没有关于这个问题的思路、相关结论或者研究方向可以分享？非常感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者maphado fan