关于2016年IMO预选题C3证明的两处关键步骤疑问咨询

大家好，我最近在研读2016年IMO预选题C3的证明（出自OTIS excerpts），但卡在了两个关键步骤上，想向各位大佬请教：

疑问一：$\gcd(n,6)=1$与等边三角形、边所属等腰三角形数量的关系 #

• 证明里首先利用$\gcd(n,6)=1$推出正$n$边形中不存在等边三角形，我没弄明白这个推导的逻辑，能不能麻烦解释下？
• 接着又说因为不存在等边三角形，所以每条边恰好属于3个等腰三角形。我能理解每条边作为腰对应一个等腰三角形，但搞不清楚它作为底边怎么只对应一个等腰三角形，也不明白为什么总共是3个的原因。

疑问二：等式$X+3Y = 3(\binom a2 + \binom b2 + \binom c2)$的推导依据 #

证明采用反证法，假设不存在三顶点异色的等腰三角形，定义：

• $Y$：正$n$边形中单色等腰三角形的数量
• $X$：其余（即仅含两种颜色）等腰三角形的数量

然后给出了等式$X+3Y = 3(\binom a2 + \binom b2 + \binom c2)$，我完全摸不清这个等式是怎么来的，卡了好一阵子，希望能得到详细的推导说明。

另外，证明的其他部分我都能理解，就这两个点一直没搞懂，麻烦大家帮忙解惑啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者H4z3