求解积分∫(1+e^(x^(1/2)))/(1+e^x)dx的方法咨询

嘿，我来帮你梳理这个积分的解法！你已经把原积分拆成了两个部分：
$$\int \frac{1}{1+e^{x}}dx + \int \frac{e^{x{1/2}}}{1+e^{x}}dx$$
第一个积分的解法你已经掌握了，那咱们重点解决第二个棘手的积分$\int \frac{e^{√x}}{1+ex}dx$。

首先，先做一个换元简化式子：令$t = √x$，那么$x = t^2$，$dx = 2t dt$，代入后第二个积分转化为：
$$2\int \frac{t e^t}{1 + e^{t2}} dt$$

遗憾的是，这个积分没有初等函数形式的原函数——也就是说，没法用我们熟悉的多项式、指数、对数、三角函数等初等函数组合来表示它的不定积分。不过我们可以用级数展开的方法来得到它的近似解，或者表示成无穷级数形式：

级数展开解法 #

当$x > 1$时，$x - √x > 0$，所以$e^{-(x - √x)} < 1$，我们可以利用几何级数$\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n u^n$（$|u| < 1$）来展开：
$$\frac{e^{√x}}{1+ex} = \frac{e^{√x}}{ex(1+e^{-(x - √x)})} = e^{√x - x} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n e^{-n(x - √x)}$$
整理后得到：
$$\frac{e^{√x}}{1+ex} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n e^{(n+1)√x - (n+1)x}$$

接下来对这个级数逐项积分（在收敛区间内可以逐项积分）：
$$\int \frac{e^{√x}}{1+ex}dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int e^{(n+1)√x - (n+1)x}dx$$

对于每一项积分$\int e^{(n+1)√x - (n+1)x}dx$，我们再次用换元$u = √x$，即$x=u^2$，$dx=2u du$，代入后得到：
$$\int e^{(n+1)u - (n+1)u^2} \cdot 2u du = 2\int u e^{-(n+1)(u2 - u)} du$$

对指数部分配方：$u^2 - u = (u - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$，所以：
$$2\int u e^{-(n+1)[(u - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}]} du = 2e^{\frac{n+1}{4}} \int u e^{-(n+1)(u - \frac{1}{2})^2} du$$

再做换元$v = u - \frac{1}{2}$，则$u = v + \frac{1}{2}$，$dv=du$，积分变为：
$$2e^{\frac{n+1}{4}} \int (v + \frac{1}{2}) e^{-(n+1)v2} dv = 2e^{\frac{n+1}{4}} \left( \int v e^{-(n+1)v2} dv + \frac{1}{2}\int e^{-(n+1)v2} dv \right)$$

第一个积分$\int v e^{-(n+1)v2} dv$可以用凑微分法：令$w = -(n+1)v^2$，$dw = -2(n+1)v dv$，所以积分结果是$-\frac{1}{2(n+1)}e^{-(n+1)v2} + C$；第二个积分是高斯积分，结果为$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{n+1}} \text{erf}(v\sqrt{n+1}) + C$（其中$\text{erf}$是误差函数，属于特殊函数）。

把这些结果代回去，就能得到每一项积分的表达式，最终把所有项加起来就是原积分的级数形式解。

另外，你已经会解的第一个积分$\int \frac{1}{1+e^{x}dx$，这里再补充一下常规解法作为参考：可以通过分子分母同乘$e}{-x}$，得到$\int \frac{e^{-x}}{1+e{-x}}dx$，然后凑微分，令$u=1+e^{{-x}$，$du=-e}{-x}dx$，积分结果为$-\ln(1+e^{-x}) + C = x - \ln(1+e^x) + C$。

把两个部分的结果合起来，就是原积分的解啦——其中第二个积分只能表示为无穷级数或者特殊函数形式，没有初等原函数哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sohini