关于Karatzas和Shreve中边界点正则性证明步骤(*)到(**)的严格推导问询
问题背景
我们先明确要讨论的定理与前提：
假设$d \geq 2$，固定$a \in D$，要从Karatzas和Shreve第245页的定理2.21推导如下结论：
定理：若对每个在$a$处连续的有界可测函数$f: \partial D \to \mathbb{R}$，都有$\lim_{{x \to a, x \in D}} E^x { f(W_{\tau_D}) } = f(a)$，则$a$是$D$的正则点。
相关定义：
- 2.9 定义：对于右连续滤子${ \mathcal{F}_t }$的停时$\sigma_D \triangleq \inf{ t \geq 0 : W_t \in D^c }$，边界点$a \in \partial D$称为$D$的正则点，若$P^a[\sigma_D = 0] = 1$（即从$a$出发的布朗路径不会立即回到$D$并停留非空时间区间）。
- 2.10 注记：若$a$是非正则点，由Blumenthal零一律可得$P^a[\sigma_D = 0] = 0$。
证明采用反证法，假设原点$a=0$非正则，则$P^0[\sigma_D=0]=0$，结合$d\geq2$时布朗运动不会回到起点的性质，可得$\lim_{{r \to 0}} P^0[W_{\sigma_D} \in B_r] = 0$。后续构造了停时$\tau_n = \inf { t \geq 0; |W_t| \geq \delta_n }$，并推导到步骤()，我已自行验证()的合理性，现在需要严格推导从(*)到(**)的步骤。
我已完成的(*)步骤推导
我通过条件期望的塔式法则和“取出已知项”性质，已经证明了(*)式：
$$
\begin{aligned}
P^0[W_{\sigma_D} \in B_r, \tau_n < \sigma_D]
&= E^0\left[1_{W_{\sigma_D} \in B_r}1_{\tau_n < \sigma_D}\right] \
&= E0\left[E0\left[1_{W_{\sigma_D} \in B_r}1_{\tau_n < \sigma_D}\mid\mathcal{F}{\tau_n}\right]\right] \
&= E^0\left[1{\tau_n < \sigma_D}E^0\left[1_{W_{\sigma_D} \in B_r}\mid\mathcal{F}{\tau_n}\right]\right] \
&= E^0\left(1{\tau_n<\sigma_D} P^0\left[W_{\sigma_D} \in B_r\mid\mathcal{F}_{\tau_n}\right]\right)
\end{aligned}
$$
核心疑问
我现在卡在了从(*)到()的环节，想请教怎么严格推导出下面的()式：
$$
\int_{D \cap B_{\delta_n}} P^x[W_{\tau_D} \in B_r]P^0[\tau_n < \sigma_D, W_{\tau_n} \in dx]
$$
希望能得到严谨的数学推导步骤，如果能补充一点直观理解就更好了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Petros gustez
