求解模2000下满足$x^{2}-y^{2}\equiv 1 \pmod {2000}$的$(x,y)$对的数量

没问题，我来帮你接着往下算！咱们可以利用中国剩余定理拆分问题，因为2000=16×125，而且16和125互质，只需要分别算出模16和模125下的方程解数，再把两个结果相乘，就能得到模2000的总解数——毕竟每一组模16的解和模125的解，都能唯一对应到模2000的一个解。

一、模16的解数计算 #

方程变形为$x^2 \equiv 1 + y^2 \pmod{16}$：

• 先找满足$x^2 \equiv 1 \pmod{16}$的x：枚举后可知，x只能是1、7、9、15这4个值（它们的平方模16均为1）。
• 代入方程得$1 + y^2 \equiv 1 \pmod{16}$，即$y^2 \equiv 0 \pmod{16}$。满足这个条件的y是0、4、8、12这4个值（它们的平方都是16的倍数）。
  所以模16下，解$(x,y)$的数量是$4 \times 4 = 16$。

二、模125的解数计算 #

方程因式分解为$(x - y)(x + y) \equiv 1 \pmod{125}$：

1. 由于乘积是模125的可逆元1，所以$x-y$和$x+y$都必须是模125的可逆元（即与125互质，不被5整除）。
2. 令$a = x - y$，$b = x + y$，则$ab \equiv 1 \pmod{125}$，也就是b是a的逆元。同时可以推出$x = \frac{a + b}{2}$，$y = \frac{b - a}{2}$——因为a和b都是与5互质的奇数，所以a+b和b-a都是偶数，而2在模125下是可逆的（2与5互质），因此x和y都是整数，完全合法。
3. 模125的可逆元集合$(Z/125Z)^*$共有$\phi(125) = 125 \times (1 - \frac{1}{5}) = 100$个元素。每个可逆元a对应唯一的逆元b，也就对应唯一的$(x,y)$解，且不同的a对应不同的解（反过来每个解也对应唯一的a和b）。所以模125下的解数是100。

三、总解数计算 #

根据中国剩余定理，模2000的总解数为模16解数与模125解数的乘积：
$16 \times 100 = 1600$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chloe_shi