求0000至9999范围内随机抽取两个无共同数字的4位数的概率的解析推导方法

嘿，我来帮你拆解这个问题的解析推导过程，咱们一步步来，最后就能和你代码算出的结果对上啦：

第一步：先算总样本数 #

两个数都是从0000到9999里随机选，每个数有10^4种可能，所以总共有 10^4 * 10^4 = 10^8 种数对组合，这和你代码里的分母完全一致。

第二步：分类计算符合条件的数对数量 #

核心思路是按第一个数使用的不同数字的个数来分类讨论，因为第一个数的数字重复情况会直接影响第二个数的可选范围：

情况1：第一个数是4位相同的数字（比如0000、1111） #

• 这类数的总数：0-9每个数字对应一个，共10个。
• 第二个数的要求：不能包含这个重复的数字，所以每一位都有9种选择（排除那个重复数字），可选数的数量是 9^4 = 6561。
• 这部分的数对总数：10 * 6561 = 65610。

情况2：第一个数用了2个不同的数字 #

这里又细分成两种子情况：

• 子情况2a：3个相同数字+1个不同数字（比如0001、1112）
  • 这类数的总数：先选重复的数字（10种），再选不同的数字（9种），再选不同数字的位置（4个位置里选1个），所以是 10 * 9 * 4 = 360 个。
  • 第二个数不能包含这两个数字，每一位有8种选择，可选数数量是 8^4 = 4096。
  • 这部分数对总数：360 * 4096 = 1474560。
• 子情况2b：2个相同数字+另外2个相同数字（比如0011、2233）
  • 这类数的总数：先选两个不同的数字（组合数C(10,2)=45种），再分配位置（4个位置选2个放第一个数字，剩下的放第二个，C(4,2)=6种），所以是 45 * 6 = 270 个。
  • 同样，第二个数不能包含这两个数字，可选数数量是 8^4 = 4096。
  • 这部分数对总数：270 * 4096 = 1105920。

情况3：第一个数用了3个不同的数字（比如0012、1123，即一个数字重复2次，另外两个各1次） #

• 这类数的总数：先选重复的数字（10种），再选另外两个不同的数字（组合数C(9,2)=36种），然后计算排列数：4个位置里有一个数字重复2次，总排列数是 4!/2! = 12 种。所以总数是 10 * 36 * 12 = 4320 个。
• 第二个数不能包含这3个数字，每一位有7种选择，可选数数量是 7^4 = 2401。
• 这部分数对总数：4320 * 2401 = 10372320。

情况4：第一个数用了4个完全不同的数字（比如0123、1234） #

• 这类数的总数：第一位10种选择，第二位9种（不重复），第三位8种，第四位7种，即 10 * 9 * 8 * 7 = 5040 个。
• 第二个数不能包含这4个数字，每一位有6种选择，可选数数量是 6^4 = 1296。
• 这部分数对总数：5040 * 1296 = 6531840。

第三步：求和得到符合条件的总数 #

把所有情况的数对数量加起来：

65610 + 1474560 + 1105920 + 10372320 + 6531840 = 19550250

完全和你代码算出的结果一致！

最后计算概率 #

概率就是符合条件的数对总数除以总可能数：
19550250 / 10^8 = 0.1955025

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TDG