关于集合论中“不存在满射是否蕴含存在单射”的疑问

嘿，这个问题问得相当到位，正好戳中了集合论里基数比较的一个核心细节——答案其实和我们是否认可**选择公理（AC）**直接挂钩！

先给你理清楚两种情况：

1. 不假设选择公理时：存在反例！ #

在不承认选择公理的集合论模型里，确实存在两个无限集合A和B，既没有从A到B的满射，也没有从A到B的单射。举个典型的例子：

• 取A为一个不可良序化的无限集合（这类集合在无选择公理的模型中是存在的，简单说就是没法给它的元素排一个顺序，让每个子集都有最小元）；
• 取B为$\omega_1$——第一个不可数的序数，它是天然可以良序化的。

这时候：

• 不存在从A到B的满射：如果真有这样的满射，我们就能借助B的良序给A诱导出一个良序（按B中元素的顺序，对应排列A里的原像），但A本身是不可良序化的，矛盾，所以满射不存在；
• 也不存在从A到B的单射：如果有单射，说明A的某个子集和$\omega_1$一一对应，而$\omega_1$是良序的，那这个子集也能继承良序，但A本身不可良序化，这就矛盾了，所以单射也不存在。

这么一来，“不存在A到B的满射”显然推不出“存在A到B的单射”，因为两者都不存在。

2. 接受选择公理时：结论成立！ #

选择公理最关键的推论之一就是基数三分律：任意两个集合A和B，要么存在从A到B的单射（即$|A| \leq |B|$），要么存在从B到A的单射（即$|B| \leq |A|$），二者必居其一。

同时，在选择公理的加持下，“存在从B到A的单射”等价于“存在从A到B的满射”（满射可以通过给每个B中元素选一个A里的原像来构造单射，反过来单射也能扩展为满射）。

所以如果不存在从A到B的满射，就意味着不存在从B到A的单射，根据三分律，必然存在从A到B的单射，这时候你的结论就成立了。

为啥有限集没问题？ #

你说得对，有限集的情况完全不用纠结——因为有限集的基数都是自然数，天然满足三分律，不管选不选选择公理，都不会出现“两头都没映射”的情况，所以“不存在满射”必然能推出“存在单射”。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tran Khanh