将随机积分转化为伊藤过程的困惑求助：关于$X_{t} = e^{-t}\int_{0}^{t}e^{u}dW_{u}$的推导问题
嗨，我来帮你梳理一下这个问题的解决思路，其实你走的方向没错，只是在后续的推导化简上没找到关键点，咱们一步步来：
方法一：直接用伊藤乘积法则（更简洁）
先把你的$X_t$拆成两个过程的乘积：令$Y_t = \int_0^t e^u dW_u$，那么$X_t = e^{-t} \cdot Y_t$。
对这种乘积形式的随机过程，直接用伊藤乘积法则（伊藤公式的特例）来求微分：
对于两个过程$A_t$和$B_t$，有$d(A_t B_t) = A_t dB_t + B_t dA_t + dA_t dB_t$。
这里我们代入$A_t = e^{-t}$，$B_t = Y_t$：
- 计算$dA_t$：$d(e^{-t}) = -e^{-t} dt$
- 计算$dB_t$：因为$Y_t$是伊藤积分，它的微分就是被积函数乘以$dW_t$，也就是$dY_t = e^t dW_t$
- 交叉项$dA_t dB_t$：$dA_t$是关于$dt$的项，$dB_t$是关于$dW_t$的项，两者的二次协方差为0，所以这一项直接消失
把这些代入乘积法则：
$$
\begin{align*}
dX_t &= d(e^{-t} Y_t) \
&= e^{-t} dY_t + Y_t d(e^{-t}) + 0 \
&= e^{-t} \cdot e^t dW_t + Y_t \cdot (-e^{-t}) dt \
&= dW_t - e^{-t} Y_t dt
\end{align*}
$$
注意到$e^{-t} Y_t$就是$X_t$本身，所以最终可以化简为：
$$dX_t = -X_t dt + dW_t$$
这完全符合你想要的$dX_t = \Theta dt + \Delta dW_t$形式，其中$\Theta = -X_t$，$\Delta = 1$（漂移项是状态依赖的，这在伊藤过程里是很常见的情况）。
为什么你之前的分部积分思路没得到结果？
你先对伊藤积分做分部积分得到$Y_t = e^t W_t - \int_0^t e^u W_u du$，这一步是对的，代入$X_t$后得到：
$$X_t = W_t - e^{-t} \int_0^t e^u W_u du$$
现在对这个式子求微分，关键是处理后面的积分项：令$Z_t = \int_0^t e^u W_u du$，那么$X_t = W_t - e^{-t} Z_t$，对其求微分：
$$dX_t = dW_t - d(e^{-t} Z_t)$$
再对$d(e^{-t} Z_t)$用乘积法则：
$$d(e^{-t} Z_t) = -e^{-t} Z_t dt + e^{-t} dZ_t$$
而$dZ_t = e^t W_t dt$（因为$Z_t$是关于$dt$的普通积分，微分就是被积函数），代入后：
$$d(e^{-t} Z_t) = -e^{-t} Z_t dt + e^{-t} \cdot e^t W_t dt = -e^{-t} Z_t dt + W_t dt$$
又因为$X_t = W_t - e^{-t} Z_t$，所以$e^{-t} Z_t = W_t - X_t$，把这个代入上式：
$$d(e^{-t} Z_t) = -(W_t - X_t) dt + W_t dt = -W_t dt + X_t dt + W_t dt = X_t dt$$
最后代回$dX_t$的表达式：
$$dX_t = dW_t - X_t dt$$
和方法一的结果完全一致！你之前应该是在这一步的替换化简上没理清，导致没看出可以把式子整理成目标形式。
总结一下，两种方法都能得到正确结果，直接用伊藤乘积法则会更高效，不用绕分部积分的弯路~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user515454
