半球覆盖球面的归纳法证明及推广问题咨询

这个问题来自《Cool Induction Problems》，原题如下：

(**) A sphere is covered with some number of “caps” which are hemispheres. Prove that it is possible to choose four hemispheres, and remove all others, while still keeping the sphere covered. (Hint: Sometimes it is easier to prove a more general statement than the one given.)

我本来想尝试用归纳法来证明——假设当有k个半球时命题成立，再推导k+1个半球的情况，但这时候发现需要先证明一个更强的结论：当k≥4时，若k+1个半球能覆盖球面，那其中一定能找到k个半球也能覆盖球面。我卡在这一步了，想问问该怎么证明这个强命题，或者是不是应该换一个更合适的命题来做归纳？

另外，这个问题能不能推广到n维球面？甚至更一般的任意点集上？我看到有些地方提到了Helly定理，这两者之间有什么关联吗？

提前谢谢大家的解答啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者by24