关于无分歧覆叠映射下逆像函子$p^{-1}$与proper支撑前推右伴随函子$p^!$是否相等的技术问询

嘿，最近在啃复流形上的覆叠映射与导出范畴函子相关的内容，遇到个绕不过去的问题，想请教下各位大佬：

假设 $p: X \to Y$ 是复流形之间的无分歧（可能无限）覆叠映射，函子 $p^!: D^b(Y) \to D^b(X)$ 被定义为 $Rp_!:D^b(X) \to D^b(Y)$ 的右伴随，其中 $p_!$ 是带proper支撑的前推函子，具体定义是：
$$p_! \mathcal F(U) = {s \in \mathcal F(p^{-1}(U)) ,|, \operatorname{supp}(s) \to U \text{ is proper}} \subset p_* \mathcal F(U).$$

我的核心疑问是：$p^!$ 是否等于逆像函子 $p^{-1}$？

目前我已经明确的点：

• 对于覆叠映射来说，$p_!$ 是正合函子，所以不存在高阶导出函子。我猜¹这意味着 $p^!$ 直接是 $p_!$ 的右伴随，但问题在于，$p^{-1}$ 是 $p_$ 的右伴随，而如果是无限覆叠的话，$p_! \neq p_$，这就让我对两者是否相等产生了怀疑。

我的疑问来源 #

这个问题是从Kashiwara和Schapira的《Sheaves on Manifolds》第8.6章来的：书中考虑了全纯映射 $g:X \to \mathbb D \subset \mathbb C$，以及如下笛卡尔图：
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
X @<\tilde p<< \tilde X^* \
@VgVV @VVV \
\mathbb D @<p<< \mathbb H
\end{CD}
$$
其中 $\mathbb H \subset \mathbb C$ 是上半平面，$p(z) = e^{2\pi i z}$，所以 $\tilde p: \tilde X^* \to X \setminus g^{-1}(0)$ 是覆叠映射。在第351页顶部，作者明确断言 $\tilde p^{-1} = \tilde p^!$。那我就好奇了——这种相等关系是只有这个特殊场景才成立，还是对所有无分歧覆叠映射都成立？

另外还有个小困惑（就是上面标注¹的地方）：我对导出范畴的操作还没完全摸透，想确认下这个猜测对不对？毕竟从形式上来说，$p^!$ 是定义在导出范畴上的，而 $p_!$ 是定义在层的阿贝尔范畴上的。如果 $p_!$ 是正合的，那 $p^!$ 是不是也能诱导出层范畴上的函子？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者red_trumpet