参数为1的泊松过程在无限区间上的上确界收敛性证明求助

嗨，我来帮你梳理一下这个问题的思路～你已经成功搞定了有限区间$[0,T]$上的一致收敛性，现在卡在无限区间$[0,\infty)$的反证上，核心问题确实是Dini定理依赖紧性，而无限区间不满足这个条件，那我们可以换个思路，用Borel-Cantelli引理来构造一个“坏事件”序列，证明它几乎处处无限次发生，从而说明上确界不可能趋于0。

核心思路：构造偏差不趋于0的点列 #

我们的目标是证明：几乎处处存在无限多个$n$，使得$\sup_{t\geq0} \left| \frac{P(nt)}{n} - t \right| \geq \varepsilon$（对某个固定的$\varepsilon>0$），这样就说明这个上确界不可能收敛到0。

具体步骤如下：

• 选取合适的点列：考虑$t_n = n$，此时$nt_n = n^{2$，对应的泊松变量$P(n}2)$服从参数为$n^{2$的泊松分布，其期望和方差都是$n}2$。
• 定义坏事件：对固定的$\varepsilon>0$（比如取$\varepsilon=1/2$），定义事件$A_n = \left{ \left| \frac{P(n^2)}{n} - n \right| \geq \varepsilon \right}$，整理一下就是$A_n = \left{ |P(n^2) - n^2| \geq n\varepsilon \right}$。
• 计算坏事件的概率下界：用泊松分布的大偏差下界来估计$P(A_n)$。对于泊松变量$X \sim \text{Poisson}(s)$，当$s$很大时，有大偏差不等式：
  $$P(X \geq s + a) \geq \exp\left( -s\left[ \left(1+\frac{a}{s}\right)\log\left(1+\frac{a}{s}\right) - \frac{a}{s} \right] \right)$$
  代入$s=n^2$，$a=n\varepsilon$，则$\frac{a}{s} = \frac{\varepsilon}{n}$，当$n$足够大时，对这个式子做近似：
  $$\left(1+\frac{\varepsilon}{n}\right)\log\left(1+\frac{\varepsilon}{n}\right) - \frac{\varepsilon}{n} \approx \frac{\varepsilon^2}{2n2}$$
  因此$P(X \geq n^2 + n\varepsilon) \geq \exp\left( -\frac{\varepsilon^2}{2} \right)$，同理$P(X \leq n^2 - n\varepsilon)$也有类似的下界。所以$P(A_n) \geq 2\exp\left( -\frac{\varepsilon^2}{2} \right) > 0$，这个下界是不依赖于$n$的常数。
• 应用Borel-Cantelli引理：注意到泊松过程具有独立增量，事件$A_n$和$A_m$（$n\neq m$）是独立的（因为$n^2$和$m2$对应的区间不重叠，增量独立）。由于$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty$（每个项都是正的常数），根据Borel-Cantelli第二引理，几乎处处有$\limsup_{n\to\infty} A_n$发生，也就是无限多个$n$满足$|P(n^2)/n -n| \geq \varepsilon$。

为什么这能说明上确界不收敛到0？ #

因为如果$\sup_{t\geq0} \left| \frac{P(nt)}{n} - t \right| \to 0$几乎处处成立，那么对于足够大的$n$，所有$t\geq0$都满足$\left| \frac{P(nt)}{n} - t \right| < \varepsilon$，但我们刚刚证明了几乎处处存在无限多个$n$，当$t=n$时这个绝对值大于等于$\varepsilon$，这就产生了矛盾。

再回头看有限区间和无限区间的区别 #

在有限区间$[0,T]$上，紧性保证了我们可以用Dini定理：函数序列$\frac{P(nt)}{n} - t$是单调的（因为$P(nt)$关于$t$递增），点态收敛到0（由强大数定律），而紧定义域上的单调收敛序列会一致收敛。但无限区间不是紧的，我们总能找到趋于无穷的$t_n$，使得泊松过程在$nt_n$处的波动相对于$n$来说足够大，破坏一致收敛性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Xefeer