关于陶哲轩《希尔伯特第五问题》习题1.2.11(ii)的解法正确性验证请求

我最近在读陶哲轩的《希尔伯特第五问题》，正试着做完里面的大部分习题。不过我在渐近相关的计算上没什么经验，所以想问问下面这个解法是不是正确的。我要解决的是习题1.2.11(ii)：

设$V$是一个$C^{1,1}$局部群，证明当$x,y$足够接近单位元时，有
$$xyx^{*-1}*y{*-1} = O(|x||y|)$$

先回顾一下$C^{1,1}$局部群的定义：

定义：$C^{1,1}$局部群是欧氏空间中单位元$0$的一个邻域构成的局部群，群单位元就是$0$，其运算$$满足：当$x,y$足够接近单位元时，
$$xy = x+y +O(|x||y|)$$

我的解法 #

我跟着提示先证明$xy = y x + O(|x||y|)$：
\begin{align*}
|xy| &\leq |x+y| + C|x||y| \
&\leq |yx| + C|x||y| + C|x||y|\
&\leq |yx| + C|x||y|.
\end{align}

接下来计算：
\begin{align*}
xy &= (xyx^{*-1}*y{-1}) * (y x) \
&\stackrel{?}{=}(xyx^{*-1}*y{-1}) * (x y) + O(|x||y|) \
&= xyx^{*-1}*y{-1} + x y + O(|x||y|) + O(|xyx^{*-1}*y{-1}||xy|).
\end{align}

由此可得：
\begin{align*}
0 &= xyx^{*-1}*y{-1} + O(|x||y|) + O(|xyx^{*-1}*y{-1}||xy|) \
&= xyx^{*-1}*y{-1} + O(|x||y|),
\end{align*}
这里要求$x,y$足够接近原点。

我的疑问 #

这个解法是有效的吗？我特别担心那个标了问号的等式是否成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者trapano