关于《Stochastic Partial Differential Equations. A Modeling, White Noise Functional Approach(Second Edition)》中组合不等式的证明求助

各位好！我最近在读《Stochastic Partial Differential Equations. A Modeling, White Noise Functional Approach(Second Edition)》这本书的时候，卡在了一个组合不等式的证明上，想请教一下大家的思路。

要证明的原不等式是：
$$n! \le \alpha!(2\mathbb{N})^{2\alpha}$$

先给大家明确下书里的符号定义，避免歧义：

• $\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$ 是一个非负整数向量，满足 $\alpha_1+\cdots+\alpha_m = n$
• 多重阶乘：$\alpha! = \alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_m!$
• 幂运算记号：$(2\mathbb{N})^\alpha = \prod_{j=1}^m (2j)^{\alpha_j}$

把这些定义代入后，原不等式其实等价于要证明：
$$(\alpha_1+\cdots+\alpha_m)! \le \prod_{j=1}^m \alpha_j! \cdot (2j)^{2\alpha_j}$$

其实书里本身给了一个证明方法，但我反复看了好几遍，总觉得这个证明里可能存在错误，自己实在推导不出来。有没有大佬能帮忙梳理下正确的证明思路呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ethylene