关于Schwarz类函数带界频率投影算子相关积分不等式的证明问询
我最近在研究Schwarz类函数的积分不等式问题，目前卡在了后续证明步骤上，先把问题背景和我已经梳理出的初步思路整理出来，希望能得到大家的指点：
问题设定
假设 $f\colon\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R$ 是Schwarz类函数，且满足 $\int f,dx=0$。设 $\nu>0$，$P_\nu$ 是一个投影算子，它在傅里叶空间的定义为：
$$\widehat{P_{\nu}f}(k)=\mathbb{1}_{{|k|\leq \nu}}\widehat f(k)$$
我需要证明的结论是：对于所有 $p>1$，存在一个仅依赖于 $\nu$ 和 $p$ 的常数 $C>0$，使得下面的不等式成立：
$$|\nabla_x(-\Delta_x){-1}P_{\nu}f|_{Lp}\leq C|\langle x\rangle f|_{L^1},$$
这里的 $\langle x\rangle$ 定义为 $\langle x\rangle:=\sqrt{1+|x|^2}$。
我的初步证明思路
我打算从傅里叶变换的角度切入，首先计算目标算子的傅里叶侧表达式，得到：
$$|\mathcal{F}[\nabla_x(-\Delta_x)^{-1}P_{\nu}f]|\leq \Big|\frac{k}{|k|^2}\mathbb{1}_{{|k|\leq \nu}}\widehat f(k)\Big|$$
因为题目中给出 $\int f,dx=0$，也就是 $\widehat f(0)=0$，所以我可以把上式改写为：
$$\leq\Big|\frac{1}{|k|}\mathbb{1}_{{|k|\leq \nu}}\big(\widehat f(k)-\widehat f(0)\big)\Big|$$
接下来我考虑当 $\nu$ 足够小的情况，这时候可以对 $\widehat f(k)$ 在 $k=0$ 处做泰勒展开，近似有 $\widehat f(k)-\widehat f(0)\approx \nabla_k\widehat f(k)\cdot k$，代入上式后就能得到：
$$|\mathcal{F}[\nabla_x(-\Delta_x)^{-1}P_{\nu}f]|\lesssim \big|\nabla_k\widehat f(k)\big|=\big|\mathcal{F}xf\big|$$
不过到这里我就有点卡壳了，不知道接下来怎么把这个傅里叶侧的估计转化为 $L^p$ 范数和 $L^1$ 范数的不等式，希望能得到大家的帮助。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者schrodingerscat
