求所有自然数n使P(x)=xⁿ−1被Q(x)=x⁴−x³+x²−x+1整除的后续推导疑问

我已经完成了Q(x)的根的求解过程，具体步骤如下：

首先求解$Q(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0$的根：

给等式两边乘以$(x+1)$（注意$x\neq-1$），得到：
$$(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) = x^5 + 1 = 0$$
因此原方程等价于$x^5 = -1$（且$x\neq-1$）。

接着用棣莫弗公式求出所有根：
$$x_k = \cos\left( \frac{(2k+1)\pi }{5}\right) + i\sin\left( \frac{(2k+1)\pi }{5}\right), ; k = 0, 1, 2, 3, 4$$

逐个计算后得到：

• $x_0 = e^{i\frac{\pi}{5}}$
• $x_1 = e^{i\frac{3\pi}{5}}$
• $x_2 = -1$（增根，原方程要求$x\neq-1$，舍去）
• $x_3 = \overline{x_1}$（$x_1$的共轭复数）
• $x_4 = \overline{x_0}$（$x_0$的共轭复数）

因为P(x)=xⁿ−1要被Q(x)整除，所以Q(x)的所有非增根都必须满足P(x)=0，代入后得到两个关键等式：
$$e^{i\frac{n\pi}{5}} - 1 = 0 \quad \text{和} \quad e^{i\frac{3n\pi}{5}} - 1 = 0$$

现在我卡在这里了：接下来该怎么严谨推导？难道只能代入几个n的值，然后归纳出$n = 10k,; k = 1, 2, 3...$吗？

后续严谨推导步骤 #

其实可以利用复数的核心性质：对于复数$e^{i\theta}=1$，当且仅当$\theta=2m\pi$（其中m是整数）。

1. 针对第一个等式$e^{i\frac{n\pi}{5}}=1$：
   $$\frac{n\pi}{5} = 2m\pi \implies n = 10m \quad (m\in\mathbb{Z}^+)$$

2. 针对第二个等式$e^{i\frac{3n\pi}{5}}=1$：
   $$\frac{3n\pi}{5} = 2p\pi \implies 3n = 10p$$
   因为3和10互质（最大公约数为1），所以n必须是10的倍数，即$n=10k \quad (k\in\mathbb{Z}^+)$

两个条件的交集就是n必须是10的正整数倍，也就是$n=10k$（k为正自然数）。这样就不用枚举，直接通过复数的性质完成了严谨推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Snake Detection Hypothesis