寻求在连通分支上恒常但非局部恒常的函数示例

嘿，这个问题问得很到位！先帮你捋清楚背景：维基百科里提到局部恒常函数在每个连通分支上必然是恒常的，但反过来——如果一个函数在每个连通分支上都恒常，它不一定是局部恒常的，这得要求定义域是局部连通空间才行。

你一开始想到拓扑正弦曲线，这个思路方向是对的——找非局部连通的空间，但拓扑正弦曲线本身是连通空间，所以定义在它上面的函数只要在连通分支（也就是整个空间）上恒常，那自然就是局部恒常的，没法满足“非局部恒常”的要求。

给你举两个经典的例子：

• 考虑定义域是有理数集ℚ（装备欧几里得拓扑），它的每个连通分支都是单点集（因为任意两个不同的有理数之间都存在无理数，没法构成更大的连通子集）。我们定义函数 ( f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R} )，让 ( f(q) = q )。这个函数在每个连通分支（每个单点）上显然是恒常的，但它绝对不是局部恒常的——随便找一个有理数 ( q )，它的任何邻域里都有无限多个不同的有理数，函数值各不相同，根本找不到一个邻域能让函数在里面保持恒定。
• 再看一个更直观的空间：取 ( X = {0} \cup {\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}} )（同样装备欧几里得拓扑），它的连通分支也是每个单点。定义函数 ( f: X \to \mathbb{R} )，令 ( f(0) = 0 )，( f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} )。这个函数在每个连通分支上都是恒常的，但在点0处，任何邻域都会包含无限多个形如 ( \frac{1}{n} ) 的点，函数值不是常数，所以在0点不满足局部恒常的条件，整个函数也就不是局部恒常函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anakhand