利用塞尔谱序列计算度数映射同伦纤维的上同调环

嘿，我来帮你把这个问题捋清楚！你已经用塞尔谱序列算出同伦纤维$F$的上同调群，这个结果是完全正确的：
$$
H^i(F)=\begin{cases}
\mathbb{Z} & i=0\
\mathbb{Z}/n & \text{若 }i\text{ 是 }k\text{ 的倍数}\
0 & \text{其他情况}
\end{cases}
$$
接下来要推导上同调环的杯积结构，确实可以从塞尔谱序列的乘法性质入手，我给你一步步拆解：

首先，我们回顾下问题背景：$F$是度数为$n$的映射$f:S^k\to S^k$的同伦纤维，对应的纤维丛是$F\to M_f\to S^{k$，其中$M_f$是$f$的映射柱，它和$S}k$同伦等价。因为$S^{k$是单连通的，塞尔谱序列的$E_2$页可以写成$H}(S^k)\otimes H^{*(F)$，最终收敛到$H}(M_f)=H^*(Sk)$。

塞尔谱序列的乘法结构和上同调的杯积是兼容的：对于$E_2$页中的元素$u\otimes v$（$u\in H^*(Sk)$，$v\in H^*(F)$）和$u'\otimes v'$，它们的乘积是$(u\cup u')\otimes(v\cup v')$，这个乘法会直接诱导出上同调环的杯积结构。

现在我们取$H^k(F)$的生成元$x$，来分析它的杯积幂次：

• 首先，$x\in H^{k(F)$对应$E_2}{0,k}$中的元素$1\otimes x$，它的$m$次幂是$1\otimes x^{m$，落在$E_2}{0,mk}$中，对应$H^{{mk}(F)$中的元素$x}m$。
• 因为$H^{{mk}(F)=\mathbb{Z}/n$，所以$x}m$的阶是$n$，也就是$n x^m=0$。
• 关键的一点：$x^m$是$H{mk}(F)$的生成元。如果$x^{m$是0的话，$H}{mk}(F)$就会是0，这和你算出的结果矛盾，所以每个$x^{m$都对应着$H}{mk}(F)$的非零生成元。

综上，$F$的上同调环就是截断的多项式环$\mathbb{Z}[x]/(n x)$，其中$x$的度数为$k$。换句话说：

• 所有非零的上同调类都是$x$的幂次$x^{m$（$m\geq0$，$x}0$是单位元）；
• 杯积运算就是多项式乘法，满足$x^m \cup x^l = x^{m+l}$；
• 所有非零类都满足$n x^m=0$。

如果你想从谱序列的微分角度验证，也可以注意：总空间$M_f\simeq S^k$的上同调只有0维和$k$维非零，所以$E_\infty$页中总度数大于$k$的项都是0，但这并不影响纤维$F$的上同调环结构——因为塞尔谱序列是用来计算总空间上同调的，纤维的上同调环是独立的，而乘法结构可以通过谱序列的乘法相容性直接推导出来。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Womm