酉群不变量第一基本定理相关问题咨询

嘿，针对你关于酉群U(d)不变量第一基本定理的两个问题，我来详细解答一下：

第一个问题：$V^k \times (V^\star)l$上的U(d)不变多项式 #

你提到的是，当多项式$f: V^k \times (V^\star)l \to \mathbb{R}$满足$f(uv, u^\dagger w) = f(v,w)$对所有$u \in U(d)$成立时，是否能推出$f$是初等不变量$(v_i | w_i)$的函数。

首先明确：酉群U(d)的不变量第一基本定理确实成立，不过这里需要修正一个小细节——生成所有不变量的初等不变量应该是所有的配对$(v_i | w_j)$（其中$1 \leq i \leq k$，$1 \leq j \leq l$），而不只是$(v_i | w_i)$。

举个直观的例子：当$k=l=2$时，$(v_1 | w_2) + (v_2 | w_1)$显然是U(d)不变量（因为酉变换下内积保持不变：$(u v_1 | u^\dagger w_2) = v_1^\dagger u^\dagger u w_2 = v_1^\dagger w_2 = (v_1 | w_2)$），但它没法表示成$(v_1|w_1)$和$(v_2|w_2)$的多项式，这就说明仅靠$(v_i|w_i)$是不够生成所有不变量的。

另外你提到Procesi的《Lie Groups》里涵盖了GL(d)、Sp(d)、O(d)的情况，U(d)作为GL(d,ℂ)的紧子群，它的实值不变量多项式和GL(d,ℂ)的实值不变量是一致的，而GL(d,ℂ)作用在$V^k \times (V^\star)l$上的不变量正是由所有$(v_i | w_j)$这类配对生成的，所以这个结论自然也适用于U(d)。

第二个问题：V上的U(d)不变函数 #

你问的是，如果$f$满足$f(uv, u^\dagger v) = f(v,v)$对所有$v \in V$和$u \in U(d)$成立，是否能推出$f$是$(v_i | v_j)$的函数。

先确认一下表述：我推测你应该是指$f$定义在$V^k$上，且满足$f(u v_1, ..., u v_k) = f(v_1, ..., v_k)$（也就是每个向量分量都被酉变换作用后函数值不变）。如果是这样的话，答案是肯定的——所有这类U(d)不变多项式都可以表示为两两向量的内积$(v_i | v_j)$的多项式。

这其实是U(d)作用在$V^k$上的第一基本定理：酉变换天然保持Hermite内积，所以这些$(v_i | v_j)$都是不变量；反过来，任何U(d)不变的多项式都能由这些内积配对构造出来。你可以把它类比成正交群O(d)的情况，酉群相当于复数域上的“正交群”，只是内积是Hermite型而非对称型，但不变量的生成逻辑是类似的。

如果你的表述是字面意思（即$f$是$V \times V^{\star$上的函数），那$u}\dagger v$属于$V^\star$，此时$f$的不变性对应U(d)在$V \times V^\star$上的作用，不变量依然是$(v | w)$（这里$w \in V^\star$）；如果是单变量的$f(v,v)$，那不变量就是$(v | v)$的多项式，但扩展到$V^k$的话就是所有两两向量的内积。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tom