关于证明布朗运动对应算子族是$C_0(\mathbb{R})$上强连续压缩半群的疑问

安全阿岳

2026-4-21

我现在正在做这么一个问题：要证明当$t \geq 0$时，由$P_t f(x) = \mathbb{E}_x[f(B_t)]$定义的算子族是$C_0(\mathbb{R})$（也就是从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}$的连续且在无穷远处消失的函数构成的空间）上的强连续压缩半群。这里$B_t$是一维布朗运动，$f$属于$C_0(\mathbb{R})$。

先明确一下强连续压缩半群的定义：

设$B_0$是Banach空间，一族有界线性算子$P_t : B_0 \rightarrow B_0$被称为$B_0$上的强连续压缩半群，需要满足：
对所有$t \geq 0$，$|P_t| \leq 1$；
对所有$s,t \geq 0$，$P_t P_s = P_{t+s}$；
对任意$f\in B_0$，当$t\rightarrow 0$时，$|P_tf-f| \rightarrow 0$。

目前前两个性质我已经搞定了：
首先计算得到初始算子和$P_t$的积分形式：
$$
P_0f(x) = \mathbb{E}x[f(B_0)] = \mathbb{E}[f(B_0) : B_0 = x] = f(x)\
P_t f(x) = \mathbb{E}x[f(B_t)] = \int{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{(y-x)^2}{2t}\right) f(y) dy
$$
很容易看出$P_t$是线性算子，而且有界性也能直接验证：
$$
|P_t f | \leq |f| \int{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{(y-x)^2}{2t}\right) dy = |f|
$$
所以$|P_t| \leq 1$，满足第一个条件。另外通过计算也能验证Chapman-Kolmogorov方程，也就是半群的合成性质$P_t P_s = P_{t+s}$。

现在卡在第三个条件——强连续性的证明上了。我一开始的思路是这样的：
首先$f$是有界的，所以$|f| < \infty$。做变量替换$z := \frac{y-x}{\sqrt{t}}$，则$dy = \sqrt{t}dz$，积分可以改写为：
$$
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{(y-x)^2}{2t}\right) f(y) dy = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) f(\sqrt{t}z + x) dz
$$
然后注意到：
$$ \left|\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) f(\sqrt{t}z + x)\right| \leq \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) |f|$$
这个上界是可积的，所以根据控制收敛定理（DCT），可以把极限移到积分里面，得到：
$$\lim_{t\rightarrow 0} P_t f(x) = \int_{-\infty}^\infty \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) f(\sqrt{t}z + x) dz = f(x)$$

但我总觉得这里有问题，因为整个过程我只用到了$f$的有界性，完全没用到它在无穷远处消失的性质。而接下来的习题就是要证明，当考虑$C_b(\mathbb{R})$（仅要求有界连续、不要求在无穷远处消失的函数空间）时，这个结论不成立。我现在特别困惑，不知道自己的论证哪里出了问题。

后来看了提示我才反应过来，我刚才只证明了逐点收敛，但我们需要的是关于$|\cdot|\infty$范数的一致收敛！于是我重新整理了思路：
$$
\left| P_t f - f\right| = \sup{x \in \mathbb{R}}\left| \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} \exp \left( - \frac{(y-x)^2}{2t}\right) (f(y)-f(x)) dy\right| \
= \sup_{x \in \mathbb{R}}\left| \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) (f(\sqrt{t}z+x)-f(x)) dz\right| \
\leq \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) \sup_{x \in \mathbb{R}}\left|f(\sqrt{t}z+x)-f(x) \right| dz
$$
这里右边的被积函数被$\frac{2}{\sqrt{2 \pi }} \exp \left( - \frac{z^2}{2}\right) |f|$控制，是可积的，所以再用控制收敛定理就能得到：
$$\lim_{t\rightarrow 0}\left| P_t f - f\right| = 0$$

不过我还是有点疑惑，为什么在$C_b(\mathbb{R})$里这个结论不成立呢？是不是因为在$C_b(\mathbb{R})$中，$\sup_{x \in \mathbb{R}}\left|f(\sqrt{t}z+x)-f(x) \right|$不一定会随着$t\rightarrow0$趋于0？比如常函数的话，$|P_t f - f|$确实是0，但有没有其他的$C_b(\mathbb{R})$函数会导致收敛不成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IstEsOverFurMich