R³中物质点受物质曲线的引力及线积分问题
咱们先从牛顿万有引力定律入手：一个质量为$m$的质点$P$，会对质量为$m_0$的质点$P_0$产生引力——方向是从$P_0$指向$P$，大小为$k\frac{mm_0}{r^2}$，为了简化计算，咱们这里取引力常数$k=1$。
离散质点的引力情况
如果$P_0$位于原点$(0,0,0)$，被位于$(x_i,y_i,z_i)$、质量为$m_i$的质点$P_i$吸引，那么两者之间的引力可以用向量形式表示为：
$$\frac{m_0m_i}{r_i^2}(x_i,y_i,z_i)$$
其中$r_i=\sqrt{x_i2+y_i2+z_i^2}$，是两个质点之间的距离。
连续曲线质量分布的引力近似
当$P_0$被一系列离散质点$P_1,P_2,\dots,P_n$吸引，或者吸引质量是连续分布在一条曲线上时（曲线的参数方程为$\sigma:[a,b]\to\mathbb{R}^3$，即$\sigma(t)=(\sigma_1(t),\sigma_2(t),\sigma_3(t))$），我们可以把这条曲线用分点$a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$分割成很多小段。
这时候，整个引力可以近似写成各个小段引力的向量和：
$$\sum_i \frac{m_0m_i}{r_i(\sigma(t_i))^2}(\sigma_1(t_i),\sigma_2(t_i),\sigma_3(t_i))$$
这里$r_i(\sigma(t_i))=|\sigma(t_i)|$，是小段对应的质点到原点$P_0$的距离。
核心问题解答：小段质量与线积分的关系
要表示小段$[t_{i-1},t_i]$的质量$m_i$，咱们得先引入线密度的概念：设$\rho(t)$是曲线在参数$t$处的线质量密度（也就是单位长度的质量）。
小段质量$m_i$的近似
小段曲线的弧长$\Delta s_i$可以用参数方程的弧长微分近似：$\Delta s_i \approx |\sigma'(t_i)| \Delta t_i$，其中$\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$，$|\sigma'(t_i)|=\sqrt{(\sigma_1'(t_i))2+(\sigma_2'(t_i))2+(\sigma_3'(t_i))^2}$是曲线在$t_i$处切向量的模长。
所以小段的质量$m_i$近似为：
$$m_i \approx \rho(t_i) \cdot \Delta s_i \approx \rho(t_i) |\sigma'(t_i)| \Delta t_i$$
引力的黎曼和与线积分
把$m_i$的近似式代入之前的引力向量和，得到：
$$\sum_i \frac{m_0 \rho(t_i) |\sigma'(t_i)| \Delta t_i}{|\sigma(t_i)|^3} \sigma(t_i)$$
这就是线积分的黎曼和形式。当分割的小段数量$n$趋向于无穷大，每个$\Delta t_i$趋向于0时，这个和就收敛到精确的引力线积分：
$$\boldsymbol{F} = m_0 \int_{\sigma} \frac{\rho(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|^3} ds$$
用参数$t$直接表示的话，积分形式为：
$$\boldsymbol{F} = m_0 \int_a^b \frac{\rho(t) \sigma(t)}{|\sigma(t)|^3} |\sigma'(t)| dt$$
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paull
