利用罗尔定理求解二阶可导函数的相关计算问题
问题回顾
设$f(x)$是区间$[1,5]$上的实值二阶可导函数，满足$f(1)=f(5)=0$，且对任意$x\in[1,5]$，有$f(x)=f'(x)+f''(x)$，求$(f(2)+f(4)-f'(3))$的值。
你提到的思路里，罗尔定理的条件确实满足，但关键是要先处理那个微分方程，我们一步步来拆解：
第一步：解给定的微分方程
首先把等式$f(x)=f'(x)+f''(x)$整理成标准的二阶常系数线性齐次微分方程形式：
$$f''(x) - f'(x) + f(x) = 0$$
它的特征方程是：
$$r^2 - r + 1 = 0$$
解这个方程，得到一对共轭复根：
$$r = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$
所以这个微分方程的通解可以写成：
$$f(x) = e^{\frac{x}{2}}\left(A\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + B\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)$$
这里$A$和$B$是待确定的常数。
第二步：利用边界条件确定常数
现在代入$f(1)=0$和$f(5)=0$：
- 当$x=1$时，$e^{\frac{1}{2}}$显然不等于0，所以：
$$A\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + B\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 \tag{1}$$ - 当$x=5$时，同样$e^{\frac{5}{2}}\neq0$，所以：
$$A\cos\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right) + B\sin\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right) = 0 \tag{2}$$
接下来看这两个方程组成的线性方程组，它的系数行列式是：
$$\begin{vmatrix}
\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) & \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \
\cos\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right) & \sin\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)
\end{vmatrix} = \sin\left(\frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sin(2\sqrt{3})$$
因为$2\sqrt{3}\approx3.464$，这个值不是$\pi$的整数倍，所以$\sin(2\sqrt{3})\neq0$，这就意味着这个线性方程组只有零解：$A=0$且$B=0$。
第三步：得出结论
既然$A$和$B$都是0，那$f(x)$就是区间$[1,5]$上的零函数，也就是对所有$x\in[1,5]$，$f(x)=0$，它的一阶导数$f'(x)$也恒为0。
代入要求的表达式：
$f(2)+f(4)-f'(3)=0+0-0=0$
补充说明（关于罗尔定理的关联）
你提到了罗尔定理，其实可以这样理解：如果$f(x)$不是零函数，那它在$(1,5)$内必然存在极值点（因为两端点都是0），但结合微分方程的解的形式，只有零函数能满足两端点为0的条件，这也侧面验证了我们的结论。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Samar Imam Zaidi
