关于构造满足不同分裂域扩张次数条件的多项式的技术咨询

问题回顾 #

给定域$K$，我们需要构造次数$n\geq2$的多项式$P$及其分裂域$L$，分别满足三个扩张次数条件：

• i) $[L:K] = n$
• ii) $n < [L:K] < n!$
• iii) $[L:K] = n!$

先聊聊你对条件(i)的思路 #

你的方向是对的，但有个小细节出错啦：你写的多项式$P=(X-\sqrt{2})(X-\sqrt{3})$系数不在$\mathbb{Q}$里，没法作为$\mathbb{Q}[X]$中的多项式来用哦。

咱们调整一下就能得到正确的例子：

• 如果要$n=2$，直接选$P(X)=X^2-2$，它的分裂域是$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，扩张次数$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$，完美匹配(i)；
• 如果想试高次的，比如$n=4$，选$P(X)=(X^2-2)(X2-3)$，这是$\mathbb{Q}[X]$里的4次多项式，分裂域是$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，扩张次数是4，刚好等于多项式次数，也满足(i)。

满足条件(ii)的例子：介于$n$和$n!$之间的扩张次数 #

咱们拿$n=4$来举例子，选$K=\mathbb{Q}$，多项式$P(X)=X^4-2$。

• 首先，它在$\mathbb{Q}$上不可约（用艾森斯坦判别法，取素数2就能验证）；
• 它的根是$\sqrt[4]{2}$、$i\sqrt[4]{2}$、$-\sqrt[4]{2}$、$-i\sqrt[4]{2}$，所以分裂域$L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$；
• 计算扩张次数：$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}]=4$，而$i$不在$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$里（因为后者是实域的子域，$i$是虚数），且$i$在$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$上的极小多项式是$X^2+1$，次数为2，所以$[L:\mathbb{Q}]=4\times2=8$；
• 对比一下，$n=4$，$n!=24$，显然$4<8<24$，完全满足条件(ii)。

满足条件(iii)的例子：扩张次数等于$n!$ #

这本质上是要找一个伽罗瓦群为对称群$S_n$的多项式（因为分裂域的扩张次数等于伽罗瓦群的阶，而$|S_n|=n!$）。

经典的例子很多：

• 比如$n=3$时，选$P(X)=X^3-2$，它的分裂域是$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$（$\omega$是三次单位根，$\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$），扩张次数$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=6=3!$，完美匹配(iii)；
• 对于任意$n\geq2$，还可以选$P(X)=X^n - X -1$，这个多项式在$\mathbb{Q}$上不可约，且它的伽罗瓦群是$S_n$，所以分裂域的扩张次数就是$n!$，满足条件(iii)。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Fluadl