寻求序列$(1+\frac{1}{k})^{k+\frac{1}{2}}$严格递减的纯代数证明

大家好，我一直在找序列$(1+\frac{1}{k})^{k+\frac{1}{2}}$（其中$k \in \mathbb{N}$）严格递减的纯代数证明——也就是完全不用导数、积分或者任何依赖导数/积分的定理的证明，但目前看到的所有证法都用到了分析工具，所以想请教社区有没有纯代数的思路。

下面是我自己尝试过的一些方向，但都没成功：

首先，我们的目标是证明$a_{k-1} > a_k$，其中$a_k = (1+\frac{1}{k})^{k+\frac{1}{2}}$。我先把不等式两边平方，转化为更易处理的形式：
$$\left( \frac{k}{k-1} \right)^{2k-1}> \left( \frac{k+1}{k} \right)^{2k+1}$$
进一步整理后得到：
$$(k)^{4k} >({k+1})^{2k+1} ({k-1})^{2k-1}$$

接下来是具体的尝试：

• 二项式定理方向：我把上述不等式变形为$\left(1+ \frac{1}{k^2-1} \right)^{2k} > 1+\frac{2}{k-1}$，但左边减右边的序列收敛到0的速度太快了，展开二项式时需要用到几乎所有项才能证明不等式，计算量大到根本没法推进，最后走进了死胡同。
• 数学归纳法方向：我试过用归纳法来证，但怎么都推不出递推的关键步骤，感觉这个思路要么难度太高，要么根本行不通。
• AM-GM不等式方向：我发现原不等式$a_{k-1}>a_{k}$可以转化为$\frac{k}{\sqrt{(k+1)(k-1)}}>\left( \frac{k+1}{k-1}\right)^{\frac{1}{4k}}$，这里明显涉及到AM/GM不等式，看起来很有希望，但我始终没找到怎么利用这个点完成证明。后来我还尝试把不等式变形为$ \frac{2k^3}{{2k (k+1)(k-1)} }>\left( \frac{k+1}{k-1}\right)^{\frac{1}{2k}}$（两边同乘$\frac{2k}{2k}$），右边变成了$\frac{2k +\frac{1}{k-1} +\frac{1}{k+1} }{2k}$，我想找2k个正数，让它们的和等于${2k +\frac{1}{k-1} +\frac{1}{k+1} }$且乘积等于$\frac{k+1}{k-1}$，这样就能用AM-GM不等式了，但始终没找到合适的序列。

可惜的是，我所有的尝试都没有实质性进展，所以来这里求助，希望大家能给我一些思路或者完整的纯代数证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pie