三角形内点的几何不等式证明咨询

各位好，我现在卡在了一个几何不等式的证明问题上，想向大家求助：

设$P$是$\triangle ABC$内部的任意一点，$S$为$\triangle ABC$的面积，求证：
$$AP+BP+CP>2\sqrt{\sqrt{3}S}$$

我自己目前通过三角形不等式，已经证出了一个相关的结论：对于$\triangle ABC$内的任意点$P$，有
$$s\leq AP+BP+CP\leq 2s$$
其中$s$是$\triangle ABC$的半周长。但不知道该怎么推导上面那个和面积相关的不等式，希望能得到大家的指点，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sillyasker