关于Spivak《流形上的微积分》中可数紧集并情形下单位分解存在性证明的疑问

我在研读Spivak《流形上的微积分》里单位分解存在性的证明时，碰到了一个绕不过去的困惑点，想跟大家探讨一下：

第二种情形是考虑集合$A = A_1 \cup A_2 \cup \dots$，其中每个$A_i$都是紧集，且满足$A_i \subseteq A_{i+1}^\circ$的嵌套关系。作者在这里定义了依附于开覆盖$\mathcal{O}i$的、在$B_i = A_i - A{i-1}^\circ$上的单位分解$\Phi_i$，并且说明这可以用第一种情形（紧集上的单位分解结论）来构造，理由是$B_i$是紧集。

但我仔细琢磨后觉得，第一种情形只能保证在包含$B_i$的某个开集上存在这样的单位分解，可后续证明里作者却直接把$\Phi_i$当作是定义在整个$A$上的函数集合来处理。我知道$A$本身是开集，但第一种情形里的那个开集显然不一定能覆盖整个$A$啊。

我现在搞不明白，怎么才能把$\Phi_i$的定义域扩展到整个$A$，同时还能严格保持这些函数的光滑性呢？

抱歉我的英文表达不太流畅，希望问题已经说清楚了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lorenzo Vanni