数字各位和平方迭代收敛特性的证明思路求助

我最近发现了一个关于数字的有趣性质：

取任意一个数字，计算它各位数字的和，对这个和取平方，得到新的数字后重复这个操作，经过有限步之后，最终只会得到1、81、169或者256这几个结果。
（补充一下：169和256会一直交替出现，不会停在其中一个）

我试了好多数字，这个规律都成立，但就是没法从数学上证明它。另外我还发现，如果原数字能被3整除，最终结果会是81，同样也找不到证明的方法。

有没有大佬能给我点提示呀？我想自己完成这个证明，不想直接要完整答案！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aarush Saharan