渐近分析疑问：洛必达法则判断f(n)与g(n)的小o关系是否正确

嘿，你的结论刚好搞反啦！咱们一步步拆解问题出在哪：

先明确小o符号的核心定义 #

f(n) = o(g(n)) 的本质是：当n趋向于无穷大时，$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 0$，意味着g(n)的增长速度远远快于f(n)。但实际情况是，任意次幂的多项式函数增长速度都远快于任意次幂的对数函数，所以正确结论应该是 g(n) = o(f(n))，而非你认为的反过来。

你的洛必达法则应用存在计算错误 #

咱们重新推导导数：

• $f(n) = n^2$，导数$f'(n) = 2n$，这部分你是对的。
• $g(n) = (\log n)^{80}$（默认是自然对数$\ln n$），根据链式法则，正确的导数应该是：

g'(n) = 80 * (\log n)^{79} * \frac{1}{n}

你写的80*(log n / √2)是完全错误的，这是导致后续结论偏差的关键。

重新推导极限过程 #

第一次应用洛必达法则后，我们得到：

lim_{n→∞} \frac{f'(n)}{g'(n)} = lim_{n→∞} \frac{2n}{80 * (\log n)^{79} / n} = lim_{n→∞} \frac{2n^2}{80 * (\log n)^{79}}

这个极限依然是无穷大——因为分子是$n^2$级别的多项式，分母只是对数的79次幂。哪怕继续多次应用洛必达法则，每次求导后分子的多项式次数会降低，但分母始终是对数的某次幂除以$n$的某次幂，最终极限还是无穷大，绝不可能是0。

总结 #

你的错误根源在于导数计算失误，以及对极限结果的判断错误。正确结论是：$(\log n)^{80} = o(n^2)$，也就是$f(n)$的增长速度远快于$g(n)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者basil