家庭效用最大化模型中欧拉-拉格朗日方程的推导疑问及求解咨询

问题背景 #

根据一个经济模型，当$t\geq 0$时，家庭的预算$b(t)$被选择用于最大化终身效用：
$$U[b]=\int_{0}^{\infty}e{-\beta t}u(c(t))dt$$
其中：

• $u(c)\geq 0$是家庭效用函数
• $\beta>0$是恒定的贴现率
• $c(t)$是家庭消费，满足预算方程：
  $$b'(t)=\gamma b(t)+\omega-c(t),\quad b(0)=b_{0}$$
  这里$\gamma>0$是银行利率，$\omega>0$是家庭工资（两者在本模型中均假设为常数），$b_{0}>0$是初始家庭预算$b(0)$。注意，若家庭负债，$b(t)$可能为负，但$c(t)>0$，初始家庭消费为$c(0)=c_{0}>0$。

预算$b(t)$需满足无庞氏条件：$\lim_{t \to \infty} e^{-\gamma t}b(t)\geq 0$（该条件防止家庭通过无限借贷和展期债务来为当前消费融资）。在整个问题中，可假设变分法的常规理论在无限时间区间$t\in [0, \infty)$上有效。

要求：利用预算方程将泛函$U[b]$表示为$b$和$b'$的形式，然后计算欧拉-拉格朗日方程，并证明其可写为关于$c(t)$的微分方程：
$$u''(c(t))c'(t)=(\beta-\gamma)u'(c(t))$$

我的推导过程及疑问 #

通过预算方程$b'(t)=\gamma b(t)+\omega-c(t),\ b(0)=b_{0}$，我推导出：
$$c(t)=b'(t)-\gamma b(t)-\omega$$
因此，用$b$和$b'$表示的泛函$U[b]$为：
$$U[b]=\int_{0}^{\infty}e{-\beta t}u(b'(t)-\gamma b(t)-\omega)dt$$

为计算欧拉-拉格朗日方程，我定义拉格朗日函数：
$$F(t, b, b')=e^{-\beta t}u(b'(t)-\gamma b(t)-\omega)$$

我尝试计算了以下偏导数：

• $\frac{\partial F}{\partial b'}=e^{-\beta t}u'(b'(t)-\gamma b(t)-\omega)\cdot b''(t)$
• $\frac{\partial F}{\partial b}=e^{-\beta t}u'(b'(t)-\gamma b(t)-\omega)\cdot (-\gamma b'(t))$

到这里我遇到了问题：我需要求$\frac{d}{dt}(\frac{\partial F}{\partial b'})$，但不知道该如何正确计算；同时我也不确定自己到目前为止的推导是否正确？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Purity