能否将Gohberg-Semencul公式扩展至二维/三维零填充卷积的快速逆运算？

好问题！针对你提出的二维/三维零填充卷积快速逆运算需求，Gohberg-Semencul公式（GSF）确实有对应的高维扩展，不过需要先理清几个关键的结构和概念，我来帮你拆解清楚：

先明确高维卷积对应的矩阵结构 #

你提到的“Toeplitz张量”其实在数值线性代数中有标准命名：

• 二维零填充卷积对应的矩阵是**块Toeplitz-Toeplitz块（BTTB）**矩阵：外层是块Toeplitz结构（块与块之间的排列满足Toeplitz的平移不变性），每个内层块本身也是Toeplitz矩阵。这个结构完全能捕捉二维卷积的行/列方向平移不变性，这也是为什么它能通过FFT以O(n log n)时间完成矩阵-向量乘法的核心原因——你之前的顾虑其实是多余的，BTTB就是对应二维零填充卷积的标准矩阵表示。
• 三维的话则是**块-块Toeplitz-Toeplitz块（BBTTB）**矩阵，原理类似，只是多了一层块结构，对应三维卷积的第三个维度的平移不变性。

Gohberg-Semencul公式的高维扩展 #

1D GSF的核心是利用Toeplitz矩阵的平移不变性，将逆矩阵表示为两个循环矩阵的组合，从而借助FFT快速求解线性方程组。这个思路完全可以推广到高维：

• 对于二维BTTB矩阵，存在块Gohberg-Semencul公式：它把BTTB矩阵的逆表示为几个块循环矩阵（每个内层块也是循环矩阵）的组合。这样一来，求解$Tx=y$的过程就能通过二维FFT来完成，时间复杂度依然是O(n log n)（n为像素总数）。
• 三维BBTTB矩阵的扩展逻辑类似，只是需要再增加一层循环结构的组合，同样依赖三维FFT实现快速运算。

和1D场景一样，高维GSF的使用也需要预先付出一些“前置成本”：你需要计算出逆矩阵的边界块信息（比如二维BTTB的逆矩阵的第一块列和最后一块列），之后就能重复利用这些信息快速求解多个方程组。

关于零填充的边界效应 #

不用担心零填充的影响——有限尺寸的零填充卷积对应的BTTB/BBTTB矩阵是有限维的平移不变算子，现有的高维GSF扩展正是针对这类有限矩阵设计的，完全能正确处理边界效应带来的矩阵结构特殊性。

为什么搜不到太多相关内容？ #

这个主题属于数值线性代数的细分领域，相关内容更多集中在学术论文或专业书籍中，而非入门教程。另外，很多实际场景中人们会直接用频域逆卷积（即对卷积结果和核做FFT后在频域除法，再加正则化处理噪声），但这种方法和GSF扩展的思路不同：

• 频域逆卷积是利用卷积定理的直接逆运算，适合核在频域没有零点的情况，否则需要正则化；
• 高维GSF则是直接针对线性方程组的快速求解，更适合需要严格求解$Tx=y$的场景，也能结合预处理来处理病态问题（比如核的频域有零点）。

总结 #

• 确实存在GSF的高维扩展，适用于二维/三维零填充卷积对应的BTTB/BBTTB矩阵；
• 扩展后的方法能保持O(n log n)的时间复杂度，前提是预先计算好逆矩阵的边界块信息；
• 如果不想深入理论细节，可以寻找支持BTTB/BBTTB系统快速求解的数值库，或者参考专门针对高维Toeplitz系统的学术文献。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CesiumLifeJacket